2021-2022学年河南省温县第一高级中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为p 是真命题，q 是假命题，所以p q ∧是假命题，选项A 错误，p q ∨是真命题，选项B 错误，p ⌝是假命题，选项C 错误，q ⌝是真命题，选项D 正确，故选D.【解析】真值表的应用.2．已知抛物线准线方程为2x =-，则其标准方程为（ ） A ．28x y = B ．28x yC ．28y x =D ．28y x =-【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出p ，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】根据题意可知，抛物线开口向右且4p =，故抛物线的标准方程为：28y x =. 故选：C.3．已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是它们所在线段的中点，则满足1//A F 平面1BD E 的图形个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】平移直线1A F ，判断平移后的直线：在平面1BD E 上，则1//A F 平面1BD E ，与平面1BD E 交于一点则不平行，即可得解．【详解】①中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；②中，由于11//A F D E ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故1//A F 平面1BD E ； ③中，平移1A F 至1D F '，可知1D F '与面1BD E 只有一个交点1D ，则1A F 与平面1BD E 不平行；故选：B ．4．方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是（ ）A ．(4,1)m ∈--B ．(4,1)(1,2)m ∈--⋃-C ．()4,2m ∈-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】根据4,2m m +-为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程22112x ym m +=+-表示椭圆则402042m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，即(4,1)(1,2)m ∈--⋃-； 若(4,1)(1,2)m ∈--⋃-，则22142x y m m+=+-表示椭圆， 所以方程22142x y m m+=+-表示椭圆的充要条件是(4,1)(1,2)m ∈--⋃-， 故选：B5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.【详解】依题意可得2222131412a a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， 故C 的方程是22143x y +=. 故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6．如图，点M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是（ ）A ．105B ．255C ．55D ．1010【答案】A【分析】连接1AD ，1D M ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D AM ∠（或其补角），然后在三角形1D AM 中用余弦定理即可解得. 【详解】连接1AD ，1D M ，如图：易得11//AD BC ，所以1D AM ∠（或其补角）是异面直线AM 与BC 1所成角， 设正方体的棱长为a ，1AD 2a ，15AM D M ==，在三角形1D AM 中，2221111cos 2AD AM D M D AM AD AM +-∠=⋅⋅222552445222a a a a a +-=⨯⨯105=， 所以异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是105. 故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D【详解】试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.【解析】点线面的位置关系.8．已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为椭圆22221x y a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且12PF PF ⋅=c 2，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎢⎣⎦D ．2⎛ ⎝⎦【答案】C【详解】设222222212(,),2P x y PF PF x c y c x y c ⋅=-+=∴+=， 所以2222222222(2)32[0,]23b a c y b c a c e a b -=∈∴≤≤≤≤-，选C. 9．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点()1,0F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为A ．32y x =± B ．2y x =± C ．23y x =±D ．2y x =±【答案】B【详解】由题得222222812881(1)1(2)3233AOB b b b AB S a b aa a ∆==∴⨯⨯=∴=+=解（1）（2）得12233a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±，故选B.10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为（ ）A ．12B ．22C ．13D ．16【答案】C【分析】以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图，以D 为坐标原点， 1,,D C D A D D ，分别为x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,1,0,1,0,0,0,2,0D E A C ．从而()11,1,1,1(1,2,0)(1,),0,1E AC D AD ==-=--.设平面1ACD 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩， 令2a =，则()2,1,2n =，所以点E 到平面1ACD 的距离为1||212133||D E h n n +-==⋅=．故选：C11．如图所示，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD -，使平面ABD ⊥平面BCD ，则下列说法中不正确．．．的是（ ）A ．平面ACD ⊥平面ABDB ．AB CD ⊥C ．平面ABC ⊥平面ACD D ．AD ⊥平面ABC【答案】D【分析】选项A . 由面面垂直的性质可得到CD ⊥平面ABD ，从而判断；选项B. 由条件可得AB AD ⊥，根据面面垂直可得AB ⊥平面BCD ，从而可判断；选项C. 由线面垂直的判定可得AB ⊥平面ACD ，从而可判断；选项D. 若AD ⊥平面ABC ,则可得则AD AC ⊥，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项A . 由平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =, 又BD CD ⊥，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD 由CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ，故A 正确. 选项B . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AB平面ABD ，则AB CD ⊥，故B 正确.选项C . 由上可知AB AD ⊥，AB CD ⊥，且AD CD D =, 所以AB ⊥平面ACD , 又AB平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面ACD ，故C 正确.选项D . 由上有CD ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ，则AD CD ⊥若AD ⊥平面ABC ，由AC ⊂平面ABC ,则AD AC ⊥,这与AD CD ⊥相矛盾，故D 不正确. 故选：D12．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】设=AF a ，=BF b ，利用抛物线定义可得2a bMN +=；在ABF 中根据余弦定理，利用,a b 表示出2AB ，结合基本不等式可求得MN AB的最大值.【详解】设抛物线准线为l ，作AP l ⊥，BQ l ⊥，MN l ⊥，垂足分别为,,P Q N ， 设=AF a ，=BF b ，由抛物线定义可知：AF AP a ==，BF BQ b ==，22AP BQa bMN ++∴==， 在ABF 中，由余弦定理得：()2222222cos603AB a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-， ()()()222221334a b a bMN AB a b ab a b a b ++∴=≤=+-+-+（当且仅当a b =时取等号）， 即MN AB的最大值为1.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果. 二、填空题13．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的________________. 【答案】必要不充分条件【分析】由“4a b +>”可用特殊值法得到不一定有“2a >且2b >”，再由“2a >且2b >”可得到“4a b +>”，得到答案.【详解】由“4a b +>”，可令5,1a b ==，则不能得到“2a >且2b >”， 而“2a >且2b >”一定有“4a b +>”，故“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，属于基础题.14．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．【答案】6【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6．15．满足约束条件()223024x y x y ⎧+≥⎪⎨-+≤⎪⎩的点(,)P x y 所在平面区域的面积为________. 【答案】1033π+ 【分析】根据约束条件画出对应可行域，再应用圆的面积及直线截圆所成弓形面积的求法求(,)P x y 所在平面区域的面积.【详解】由题设约束条件，可得点(,)P x y 所在平面区域如下图阴影部分所示，所以所求面积为圆的面积减去弓形的面积，又圆心为(2,0)，半径2r =， 30x y +=的距离23331d =+30x y +=被圆所截的弦对应圆心角的大小为3π， 所以弓形的面积为211223623r d ππ-⨯=24r ππ=， 所以(,)P x y 所在平面区域面积为1033π故答案为：103π16．设命题p ：函数y =lg （ax 2+ax +1）的定义域为R ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围______． 【答案】[)0,4【分析】根据对数函数的定义，结合命题的真假性，得出ax 2+ax+1＞0在R 上恒成立，从而求出a 的取值范围即可．【详解】∵命题p ：函数y=lg （ax 2+ax+1）的定义域为R ，且p 是真命题， ∴ax 2+ax+1＞0在R 上恒成立； 当a=0时，1＞0满足题意；当a≠0时，有2040a a a >⎧⎨=-<⎩， 解得0＜a ＜4；综上，实数a 的取值范围是0≤a ＜4． 故答案为0≤a ＜4．【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是基础题目． 三、解答题17．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现收集了4组对照数据.(1)请根据相关系数r 的大小判断回收率y 与x 之间是否存在高度线性相关关系；（精确到小数点后两位）(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测当10x =时回收率y 的值.()()niix x y y --∑ni ix y nx y-⋅∑y bx【答案】(1)0.98，x 与y 高度线性相关(2)ˆ 1.11yx =+，12 【分析】小问1：由题意计算可得0.8=>r ，则y 与x 之间存在高度线性相关关系； 小问2：由题意求得回归方程为ˆ 1.11yx =+.据此预测当10x =时，12y =． (1)5, 6.5==x y()()0.980.8--==≈>∑niix x y y r 所以，x 与y 高度线性相关 (2)根据最小二乘法122122ˆˆ1.1,120==-⋅====-∑∑ni ii nii x y nx ybaxnx所以，回归方程ˆ 1.11y x =+ 当10x =时，12y =18．已知ABC ，(1,4),(1,0),(2,1)A B C -，以,BA BC 为邻边作平行四边形ABCD (1)求点D 的坐标；(2)过点A 的直线l 交直线BC 与点E ，若2ABEACES S=，求直线l 的方程.【答案】(1)(4,5)D (2)1x =和290x y +-=【分析】（1）根据,AD BC CD AB k k k k ==，设列出方程，求得,x y 的值，即可求解； （2）要使2ABEACESS=，得到点B ，C 到直线l 的距离12,d d 之比为2，分直线l 的斜率存在和不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解. (1)解：由题可知，以,BA BC 为邻边作平行四边形ABCD ，可得//,//AB AD BC CD ， 所以,AD BC CD AB k k k k ==，设(,)D x y 且(1,4),(1,0),(2,1)A B C -，则可得4112132y y x x --==--且，解得4,5x y ==，所以D 的坐标为(4,5). (2) 解：要使2ABEACESS=，则点B ，C 到直线l 的距离12,d d 之比为2，当斜率存在时，设l 的方程为4(1)y k x -=-，即40kx y k --+= 所以由122d d =，可得22242311k k k k -++=++，即2423k k -+=+，解得12k =-， 所以直线l 的方程为290x y +-=.当直线斜率不存在时，l 的方程为1x =，此时122,1d d ==，仍符合题意. 综上：l 的方程为1x =和290x y +-=.19．为了解我校高二数学复习备考情况，年级组织了一次检测考试，并随机抽取了100人的数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计该次检测数学成绩的平均数m 及中位数n （精确到个位）; (2)现准备从成绩在(]130150，的8人中随机选出2人交流发言，求恰好抽到2人成绩在(]140150，的概率. 【答案】(1)103；104 (2)328【分析】（1）以组中值代替小组平均值，根据加权平均数公式计算平均成绩；（2）设成绩在[)130140，的5位同学位12345,,,,A A A A A ，成绩在[]140150，的3位同学为123,,B B B ，利用列举法求出8人中随机选出2人交流发言的基本事件数和2位同学成绩恰在[]140150，内的事件数，再根据古典概型即可求出结果． (1)解：该校此次检测理科数学成绩平均成绩约为：650.05750.08850.12950.151050.241150.181250.11350.051450.03m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯103.2103=≈．因为成绩在[)60100，的频率为0.4，设中位数n ，则0.024(100)0.1n -= 所以，104n ≈ (2)解：设成绩在[)130140，的5位同学位12345,,,,A A A A A ，成绩在[]140150，的3位同学为123,,B B B .从中选出2位同学，基本事件为1213141523242534354511121321,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B A B A B A B 2223313233414243515253121323,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B共28个，而2位同学成绩恰在[]140150，内的事件有3个， … 所以8人中随机选出2人交流发言，恰好抽到2人成绩在(]140150，的概率为328. 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 做x 轴的垂线，垂足为H ，动点D满足32HE HD =. (1)求点D 的轨迹2C 的方程；(2)若点P 是直线l ：3450x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值. 【答案】(1)224x y +=【分析】（1）相关点法求轨迹，设动点坐标为(,)D x y ，找出与点E 的关系，带入椭圆方程即可.（2）四边形OMPN 面积最小时，第一步确定点P 的位置，利用面积公式求出MN 的值 (1)设00(,),(,)D x y E x y由32HE HD =得，00,x x y y ==，所以2234143y x +=所以，点D 的轨迹方程为224x y += (2)由圆的切线性质知，切线长,PM PN OM PM =⊥所以，四边形面积2S OM PM PM =⋅== 所以，当OP 最小时，面积最小.而OP 的最小值即为O到直线的距离d =min 2S =又因为12S MN OP =⋅，所以2S MN OP == 21．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N ，两点，O 为坐标原点(1)求椭圆E 的方程;(2)设E 的右顶点为D ，若直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)且满足DA DB DA DB +=-，证明:直线l 过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析， 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可；（2）先将DA DB DA DB +=-转化为DA DB ⊥，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. (1)因为椭圆E : 22221x y a b+=（a ，b >0）过M N ，两点，所以2222421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2284a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为22184x y +=. (2)由（1）知D ，设1122(,),(,)A x y B x y由DA DB DA DB +=-可知，DA DB ⊥，所以，0DA DB ⋅=即：1212(0x x y y --+=所以221212(1)()80k x x km x x m ++-+++= （※）联立直线和椭圆方程，消去y ，得：222(12)4280k x kmx m +++-= 由22Δ0,84m k ><+得所以2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++ 代入方程※0=，即得22380m k ++=所以，()(3)0m m ++=所以，3m m k =-=-或 所以，直线l的方程为y kx y kx =-=或所以，过定点或，根据题意，舍去所以，直线过定点 22．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴交于点P 与抛物线交于点Q ，且54QF PQ =(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 的直线l 抛物线E 相交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与E 相交于C ，D 两点，探究是否存在直线l 使A ，B ，C ，D 四点共圆？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)24y x = (2)存在，1x y =±+【分析】（1）设点()0,4Q x ，由点Q 在抛物线上和54QF PQ =，利用抛物线的定义求解；（2）设直线l 的方程为 1.x ty =+与抛物线方程联立，求得AB 及AB 的中点M ，再得到线段AB 的垂直平分线方程，与抛物线方程联立，求得求得CD 及CD 的中点N , G 根据A B C D ，，，四点共圆，则N 为圆心，由222||||AM MN AN +=求解；方法2:根据A B C D ，，，四点共圆，利用点差法得到124AB k y y =+，134AC k y y =+，144AD k y y =+，234BC k y y =+，244BD k y y =+，再由垂直关系求解. (1)解：设点()0,4Q x ，由题意得000216524px p x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得 2.p =所以抛物线的方程为24.y x = (2)()10F ，，设()()()()11223344A x y B x y C x y D x y ，，，，，，，，直线l 的方程为 1.x ty =+由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，0∆>显然，，所以121244y y t y y +==-，，2124(1)AB y t =-=+，所以AB 的中点()2212.M t t +，所以线段AB 的垂直平分线为()2221y t t x t -=---，将抛物线方程214x y =代入得2348120ty y t t +--=， 所以，344y y t+=-，234812y y t =--，所以，34 CD y -= C D 的中点222223N t t t ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，， A B C D ，，，四点共圆，所以N 为圆心，222||||AM MN AN +=即()2222222224244(1)4(1)4(1)4(1)21t t t t t t t t++++++=+， 解得1t =±，故直线l 的方程为 1.x y =±+方法2:设()()()()11223344A x y B x y C x y D x y ，，，，，，，，CD 垂直平分AB ，且A B C D ，，，四点共圆， 90CAD CBD ∴∠=∠=，由点差法得， 124AB k y y =+，134AC k y y =+，144AD k y y =+，234BC k y y =+，244BD k y y =+，于是，1314232444441y y y y y y y y ⋅=⋅=-++++， ()1234y y y y ∴-+=+，212341244161()AB CD k k y y y y y y -∴⋅=⋅==-+++， 124y y ∴+=±1AB k ∴=±∴直线l 的方程为 1.x y =±+。