且 与 和 的交点分别为 ，且 为 和 中心，
又由点 为 内（包括边界）的一个动点，
可得三棱锥为 外接球的球心必在直线 ，
其中 的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，
当过点 球与 所在的平面相切于 的中心 时，此时球的半径最小，
根据运动的思想，可得当点 与 或 或 重合时，此时外接球的半径最大，
设此时外接球的半径为 ，
故答案为：0
【点睛】平面向量的数量积问题，可以通过转化为极化恒等式进行求解，本题中，要先把N点的轨迹求出来，通过极化恒等式进行求解.
16.已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，点 为 内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为 外接球的表面积最大值为_____________.
【答案】
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，两个平面 和平面 垂直，则这两个平面可能平行，A选项错误.
对于B选项，两条平行直线有一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，B选项正确.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
3.已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （）
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率公式求出 ，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
2021学年高二年级第二学期浙江省名校协作体试题
数学试卷
一、选择题
1 设集合 ， ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集与并集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
2.已知复数 满足 ，则复数 的虚部是（）
A. B. C. 1D. 2
故答案为：2
15.已知正方形 ， ， ， ， ，点O关于直线FM对称的点为N，则 的最小值为_____________.
【答案】0
【解析】
【分析】利用点O关于直线FM对称求出N点坐标，结合对勾函数求出横坐标的取值范围，结合N的轨迹，利用极化恒等式进行求解
【详解】由题意得： ， ， ， ，则直线MF： ，设 ，则 ，解得： ，所以 ，其中 ，由对勾函数可知 在 上单调递减，在 上单调递增，其中 ， ，从而 ，且当 时， ，又点N的轨迹为以M为圆心，2为半径的圆弧，如图所示，取BC的中点H，连接NH，因为 ①， ②，两式平方后相加得： ，要想 的值最小，则需要 最小，连接MH，与圆弧交点N即为最小的 ，此时由勾股定理得： ，此时 ，过点N作NG⊥y轴于点G，则 ，所以 ， ，故 ，符合要求，故 .
【答案】
【解析】
【分析】结合离心率求得 ，由此求得虚轴长.
【详解】依题意 ，
所以虚轴长 .
故答案为：
14.已知等差数列 的公差为1，若以数据 ， ， ， ， 为样本，则此样本的方差为_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】先根据等差中项的性质求出平均数，再利用方差公式进行求解.
【详解】由题意得： ，所以 ， ， ， ， 的平均数为 ，由于公差为1，所以 ， ， ， ，故此样本的方差为 .
【答案】（1）最多150人
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得 的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值.
（2）根据条件①②列不等式，化简得 ，结合基本不等式求得 的范围.
【小问1详解】
依题意可得调整后研发人员的年人均投入为 万元，
【分析】根据定义域排除C选项，根据特殊点坐标排除A选项，根据单调性排除B选项，通过验证，D选项正确.
【详解】由图象可以得到函数 定义域为R且 ，而A选项中的函数解析式满足 ，不合要求，A错误；C选项 的定义域为 ，不合要求，C错误；
B选项，当 时， ， 恒成立，故 在 单调递增，显然与图象不符，B错误；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得 的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得 ，结合三角函数值域的求法求得 的取值范围.
【小问1详解】
令 ，则
所以，单调减区间是 .
【小问2详解】
由 得：
，即 ，
由于 ，所以 .
在 中， ，
，
于是 ，则 ， ，
D选项，当 时， ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，符合要求.
故选：D
6.已知 ， ， ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得出 ，将所求代数式化为 ，与代数式 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】因为 ， 且 ，则 ，
所以，
取得最小值 ，
， ， .
结合二次函数的性质可知当 或 时，
取得最大值 .
综上所述， ，
所以BCD选项符合. ，A选项不符合.
故选：BCD
12.已知不共线的平面向量 ， ， 满足 ， ， ，且 .则下列结论正确的是（）
A. 与 的夹角的取值范围为
B. 与 的夹角不可能为
C. 的最小值为
D.对给定的 ，记 的最小值为 ，则
A. 14米B. 16米C. 18米D. 20米
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】设改变方向的地点为 ，终点为 ，
由于 ，所以 ， ，
， ，
由余弦定理得
.
当 时， 米.
当 时， ，
结合二次函数的性质可知当 时，
【详解】延长 交抛物线 的准线 于点 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，
设 ，则 ， ，由抛物线的定义可得 ， ，
因为 ，则 ，所以， ，即 ，
解得 ，所以， ，
因为 ，则 ，所以，直线 的倾斜角为 或 ，
因此，直线 的斜率为 .
故选：B.
8.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格 与其实际价值之间，存在着相当大的差距.对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格 与其实际价值的差距.设顾客第 次的还价为 ，商家第 次的讨价为 .有一种“对半讨价还价”法如下：顾客第一次的还价为标价 的一半，即第一次还价 ，商家第一次的讨价为 与标价 的平均值，即 ；…；顾客第 次的还价为上一次商家的讨价 与顾客的还价 的平均值，即 ，商家第 次的讨价为上一次商家的讨价 与顾客这一次的还价 的平均值，即 .现有一件衣服标价1200元，若经过 次的“对半讨价还价”， 与 相差不到 元，则 最小值为（）
若 在区间 上有零点，不妨取 ，则 ，
即“ 在区间 上有零点” “ ”；
另一方面，若 ，不妨取 ，
则 在 上无零点，
即“ 在区间 上有零点” “ ”.
故“ 在区间 上有零点”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
5.已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
，所以 .
18.为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入 万元（ ），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员 名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元.
对于D中，当 时，可得 ，所以 ；
当 时，可得 ，
因为 且 ，可得 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以D正确.
故选：ACD.
11.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 沿东偏南 （ 在 上变化）方向行走一段时间后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时的落点与原点的距离可能为（）
，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故选：B.
7.已知 为抛物线 上的焦点， 、 为抛物线 上两点，且满足 ，则直线 的斜率为（）
A. B. C. ±1D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长 交抛物线 的准线 于点 ，过点 、 分别作直线 的垂线，垂足分别为 、 ，设 ，则 ， ，利用抛物线的定义结合相似三角形可求得 ，求出 ，可得出直线 的倾斜角，进而可求得直线 的斜率.
（1）要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数 ，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围；若不存在，说明理由.
【解析】
【分析】连接 ，得到 平面 ，且 平面 ，且 为 和 中心，得到当点 与 或 或 重合时，此时外接球的半径最大，结合球的截面圆的性质，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ，因为 ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，
根据正方体 结构特征，可得 平面 ，且 要考虑平行四边形的对角线之差=2，用这个条件来约束 与 ，推出的等式比较复杂，需要仔细计算，同时考虑到当 时，平行四边形为矩形，对角线相等，不可能相差2，说明 角必然是有范围的，后面的计算主要是如何表达向量 .