2022-2023学年河南省豫西名校高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}31A x x =-<<，{}12B x x =-<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,1- B ．()1,2-C ．()3,1-D ．()3,2-【答案】D【分析】根据交集的定义，可得答案. 【详解】()3,2A B =-． 故选：D.2．32AB BC AC +-=（ ） A ．AB AC + B ．AB AC -C ．ABD ．BA【答案】A【分析】根据向量的运算法则，准确化简，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得3222AB BC AC AB BC AB AC +-=++-2AC CB AB AC =+=+． 故选：A.3．sin62cos32sin32cos118︒︒+︒︒=（ ）A B ．12C ．D ．12-【答案】B【分析】根据诱导公式、差角的正弦公式求解.【详解】sin 62cos32sin32cos118sin 62cos32sin32cos(18062)︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒sin62cos32sin32cos62=︒︒-︒︒()1sin 6232sin 302=︒-︒=︒=．故A ，C ，D 错误.故选：B. 4．若2i z =-，则52i zz-=（ ）A ．5BCD ．13【分析】利用复数的四则运算、共轭复数以及复数的模长公式求解. 【详解】因为2i z =-，所以2i z =+， 所以()52i 52i 2i 2izz +-=-- ()()()252i 2i 32i 2i 2i +=-=+=-+A ，B ，D 错误. 故选：C.5．某农学院研究员发现，某品种的甜瓜生长在除温差以外其他环境均相同的条件中，成熟后甜瓜的甜度y （单位：度）与昼夜温差x （单位：℃，535x ≤≤）近似满足函数模型()1ln 310ln 2y x =⋅-+．当温差为30℃时，成熟后甜瓜的甜度约为（参考数据：2log 3 1.585≈）（ ）A ．14.4B ．14.6C ．14.8D ．15.1【答案】C【分析】根据题意，当30x =时，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，当30x =时，可得()21ln 30310103log 314.75514.8ln 2y =⋅-+=+≈≈． 故选：C.6．已知m ，n 为两条不同的直线，α与β为两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A ．若,,⊂=∥m m n αβαβ，则m n ∥ B ．若,,⊄⊂∥m n m n αα，则m α C ．若,m n m α⊥∥，则n α⊥ D ．若,,⊥⊥⊥m n m αβα，则n β⊥【答案】D【分析】根据空间直线，平面，平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可. 【详解】对于A, 若,,⊂=∥m m n αβαβ，根据线线平行性质定理，则m n ∥.故A 正确.对于B ，由线面垂直的判定定理可得.故B 正确.对于C ，根据平行的传递性可知，若,m n m α⊥∥，则n α⊥，故C 正确. 对于D ，n 与β的位置关系不确定，D 错误. 故选：D.7．若关于x 的不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(),8∞-B ．(],8∞-C ．(,-∞D ．11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意转化为不等式7a x x <+在()2,7上有实数解，结合函数()7f x x x=+的单调性，求得()max 8f x <，即可求解.【详解】由不等式270x ax -+>在()2,7上有实数解， 等价于不等式7a x x<+在()2,7上有实数解， 因为函数()7f x x x=+在(2,7)上单调递减，在(7,7)单调递增， 又由()()711722,778227f f =+==+=， 所以()()max 78f x f <=，所以8a <，即实数a 的取值范围是(),8∞-. 故选：A.8．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0b A a B -=，3a =，2c =，则b =（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．22【答案】A【分析】根据题意，利用正弦定理求得sin cos B B =，得到4B π=，再结合余弦定理，即可求解.【详解】因为sin cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin sin sin cos 0B A A B -=， 又因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =，可得tan 1B =，所以4B π=，由余弦定理得22222cos 9223252b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，所以5b =． 故选：A.9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识；为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷．这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下：则下列说法错误的是（ ）B ．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%C ．讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%D ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后问卷答题的正确率的标准差 【答案】D【分析】根据图表中的数据信息，集合中位数、众数、百分位数，以及数据的波动性，逐项判定，即可求解.【详解】根据这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的图表，可得： 讲座后问卷答题的正确率的中位数为90%85%87.5%2+=，A 正确． 讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，B 正确．讲座后问卷答题的正确率的第75百分位数为95%，C 正确．讲座前问卷答题正确率的数据波动大于讲座后问卷答题正确率的数据波动，故讲座前的标准差也应该大于讲座后的标准差，D 错误． 故选：D.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 在棱11C D 上，且113D F C F =，O 是正方形ABCD 的中心，则异面直线1A O 与EF 所成角的余弦值是（ ） A ．146B ．23C ．53D ．226【答案】A【分析】取棱11A B 的中点H ，连接HF ，HE ，OE ，AO ，1C E ，易证四边形1OEHA 是平行四边形，则HEF ∠为异面直线1A O 与EF 所成角，设4AB =，则可求出26HE =，21EF =，17HF =，利用余弦定理即可求出HEF ∠的余弦值.【详解】如图，取棱11A B 的中点H ，连接HF ，HE ，OE ，AO ，1C E ．1所以1A H OE ∥，1A H OE =，所以四边形1OEHA 是平行四边形，则1A O HE ∥，1A O HE =， 故HEF ∠是异面直线1A O 与EF 所成的角（或补角）．设4AB =，则AO ==2CE =，11C F =，所以1HE AO ==EF ==HF故222cos26HE EF HF HEF HE EF +-∠===⋅．故选：A.11．已知奇函数()f x 的定义域为R ，()()150f x f x ++-=，当03x ≤≤时，()2f x x ax =+，则()100f =（ ）A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解.【详解】因为()()150f x f x ++-=，所以()()21520f f ++-=，即()230f =，又当03x ≤≤时，()2f x x ax =+，则()3930f a =+=，所以3a =-．所以当03x ≤≤时，()23f x x x =-，因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x +-=，又()()150f x f x ++-=，所以()()()155f x f x f x +=--=-，所以()()5551f x f x +-=++，即()()6f x f x =+，即函数()f x 的周期为6， 所以()()()()()100616445322f f f f f =⨯+==--=-=．故A ，B ，C 错误. 故选：D.12．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为35，之后每局甲赢的概率为25，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（ ） A ．162625B ．234625C ．324625D ．396625赢，剩下2局乙赢，再根据概率的乘法公式求解即可【详解】打完第5局比赛结束，则前4局甲、乙两位同学各赢2局.分两种情况：①前3局甲赢2局，剩下2局乙赢，概率为23231623555625⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；②前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，概率为2322723555625⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.故打完第5局比赛结束的概率为16272234625625625+=. 故选：B二、填空题13．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =4A π=，3B π=，则b =______．【答案】15【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】因为a =4A π=，3B π=，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 15sin a B b A ==． 故答案为：15.14．请写出一个能够说明“若复数20z <，则z ∈R ”是假命题的复数：z =______． 【答案】i （答案不唯一，符合i a （a ∈R ，且0a ≠）即可）． 【分析】利用复数的概念、运算进行求解判断. 【详解】若i z a =，（a ∈R ，且0a ≠），则 22222(i)i 0z a a a ===-<，但i R z a =∉，故“若复数20z <，则z ∈R ”是假命题. 故答案为：i （答案不唯一）.15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B ，C 分别是上、下底面圆的圆心，且33AC AB BD ==，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______．【答案】22【分析】设AB BD m ==，则2AD m =，2BC m =，则可求出圆柱的侧面积与圆锥的侧面积，即可求出答案.【详解】设AB BD m ==，则2AD m =， 因为33AC AB m ==，所以2BC m =， 则圆柱的侧面积212π4πS r BC m =⋅=，圆锥的侧面积2212π2π2S r AD m =⨯⨯，故2122222πS S m= 故答案为：2216．将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】103133【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.【详解】由题意，得()cos cos 4646g x x x ππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 为偶函数，所以46k ππωπ+=，k ∈Z ，解得243k ω=-+，k ∈Z ，又0>ω，所以当1k =时，ω取得最小值103． 故答案为：103.17．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()1,1A -，()2,1B -，(),2C m ，是否存在实数m ，使得A ，B ，C 三点能构成直角三角形？若存在，求m 的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】存在；m 的取值集合为43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解. 【详解】存在实数m ，理由如下： 由题意，得()()()2,11,13,2AB =---=-，()()(),21,11,3AC m m =--=-， ()()(),22,12,1BC m m =--=+．若A 为直角，则()3160AB AC m ⋅=--+=，得3m =．若B 为直角，则()3220AB BC m ⋅=-++=，得43m =-．若C 为直角，则()()212310AC BC m m m m ⋅=-++=++=，2141130∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解．故m 的取值集合为43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．18．某校为了保障体艺节顺利举办，从高一、高二两个年级的同学中挑选了志愿者60人，人数如下表所示：(1)从所有志愿者中任意抽取一人，求抽到的这人是女同学的概率；(2)用等比例分层随机抽样的方法从所有的女志愿者中按年级抽取六人，再从这六人中随机抽取两人接受记者采访，求这两人中恰有一人来自高一年级的概率.【答案】(1)35(2)815【分析】（1）先确定高一高二的总人数与女同学的人数，再由古典概型的概率公式求解（2）先由分层抽样确定高一高二抽取的人数，再用列举法用古典概型的概率公式求解即可；【详解】(1)高一年级志愿者有121628+=人，其中女同学12人， 高二年级志愿者有82432+=人，其中女同学24人. 故抽到的这人是女同学的概率1224328325+==+P .(2)在高一年级中抽取的志愿者的人数为2，在高二年级中抽取的志愿者的人数为4. 记从高一年级中抽取的志愿者为a ，b ，从高二年级中抽取的志愿者为A ，B ，C ，D ， 样本空间{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}Ω=ab aA aB aC aD bA bB bC bD AB AC AD BC BD CD ，共15个样本点.设事件M =“这两人中恰有一人来自高一年级”，则{(),(),(),(),(),(),(),()}=M aA aB aC aD bA bB bC bD ，共8个样本点.故所求概率为8()15P M =. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，224AB AP BP AD CD =====，E 为AP 的中点．(1)证明：//DE 平面PBC ．(2)求四棱锥E ABCD -外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16π【分析】（1）设BP 的中点为F ，连接EF ，CF ．证得//CF DE ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DE 平面PBC ；（2）作CG AB ⊥，垂足为G ，作DH AB ⊥于点H ，垂足为H ，设AB 的中点为O ，连接EO ，BE ，CO ，DO ，求得2OC BC OB ===，且2OA DO AD ===，得到外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】(1)证明；如图所示，设BP 的中点为F ，连接EF ，CF ．∴//EF CD ，且EF CD =，∴四边形CDEF 为平行四边形，∴//CF DE ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴//DE 平面PBC ．(2)解：作CG AB ⊥，垂足为G ，作DH AB ⊥于点H ，垂足为H ， 设AB 的中点为O ，连接EO ，BE ，CO ，DO ，∵2AD BC ==，ABC BAD ∠=∠，∴ADH BCG ≌△△，∴//DH CG ，且DH CG =， ∴四边形DCGH 为平行四边形，∴2DC HG ==， ∴1BG OG ==，∴2OC BC OB ===， 同理可得2OA DO AD ===，∵E 为AP 的中点，∴BE AP ⊥，∴122OE AB ==， ∴四棱锥E ABCD -外接球的球心为O ，半径为2， ∴四棱锥E ABCD -外接球的表面积为4416ππ⨯=．20．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin ac B b A =． (1)若141a b+=，求ABC 周长的最小值； (2)若3C π=，求ABC 面积的最大值．【答案】(1)13 (2)3【分析】（1）根据题意结合正弦定理求得4c =，再由()1445a ba b a b a b b a⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，求得a b +的最小值，即可求解；（2）由余弦定理和基本不等式，求得16ab ≤，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】(1)解：因为sin 4sin ac B b A =，由正弦定理得4abc ab =，解得4c =， 又因为141a b +=，则()14445259a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即26==b a 时，等号成立， 所以ABC 周长的最小值为4913+=．(2)解：由余弦定理2221cos 22a b c C ab +-==，可得2216216a b ab ab +-=≥-，即16ab ≤， 当且仅当4a b ==时，等号成立，所以13sin 4324ABC S ab C ab ==≤△． 故ABC 面积的最大值为43．21．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，E F ，分别是棱1BB ，1DD 的中点．(1)证明：平面AEF ⊥平面1ACC ．(2)若124AA AB ==，60BAD ∠=︒，求点1A 到平面AEF 的距离．【答案】(1)证明见解析421【分析】（1）连接BD ，先证明BD ⊥平面1ACC ，再证明EF BD ∥即可证得结果； （2）连接1A E ，1A F ，作BH AD ⊥，垂足为H ，证明BH ⊥平面11ADD A ，进而根据等体积法11A AEF E A AF V V --=求解即可.【详解】(1)证明：连接BD ．因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．由直四棱柱的定义可知1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥．因为1CC ⊂平面1ACC ，AC ⊂平面1ACC ，且1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ．由直四棱柱的定义可知11BB DD ∥，11BB DD =．因为E F ，分别是棱1BB ，1DD 的中点，所以BE DF ∥，BE DF =，所以四边形BEFD 是平行四边形，则EF BD ∥．所以EF ⊥平面1ACC ．因为EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面1ACC .(2)解：连接1A E ，1A F ，作BH AD ⊥，垂足为H ，因为1DD ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，所以1DD BH ⊥，因为1DD ⊂平面11ADD A ，AD ⊂平面11ADD A ，1=DD AD D ，所以BH ⊥平面11ADD A ．因为2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以3BH =因为1AA F 的面积214242S =⨯⨯=， 所以三棱锥1E A AF -的体积2143433V =⨯ 设点1A 到平面AEF 的距离为d ，因为124AA AB ==，所以22AE AF ==2EF =，所以AEF 的面积()2211222172S =⨯-则三棱锥1A AEF -的体积117733d V d =⨯=． 因为12V V =，所以74333d =，解得4217d =． 所以点1A 到平面AEF 的距离为421722．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个50元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个100元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面的柱状图．以这50台这种机器更换的易损零件数对应的频率代替每台机器更换的易损零件数对应的概率，记x 表示2台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)若22n =，求y 与x 的函数解析式；(2)求这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；(3)假设这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，或每台都购买11个易损零件，或每台都购买12个易损零件，分别计算这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，如果该公司最终决定购买1台机器，试问该公司购买1台机器的同时应购买多少个易损零件？【答案】(1)1100,2022,Z 1001100,2324,Z x x y x x x ≤≤∈⎧=⎨-≤≤∈⎩(2)0.6(3)11个【分析】（1）先得到x 的取值可能为20，21，22，23，24，结合题意，得出函数解析式；（2）求得每台机器更换的的易损零件数为10、11,12的概率，进而求得这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22的概率；（3）分别求得这50台机器在购机的同时每台都购买10个、11个和12个易损零件，所需费用的平均数，比较三个平均数可知，即可得到答案.【详解】(1)解：由题意，得x 的取值可能为20，21，22，23，24，当()2022x x ≤≤∈Z 时，22501100y =⨯=；当()2324x x ≤≤∈Z 时，()2250100221001100y x x =⨯+-=-．所以1100,2022,Z 1001100,2324,Zx x y x x x ≤≤∈⎧=⎨-≤≤∈⎩. (2)解：设事件A =“这2台机器三年内共需要更换的易损零件数不大于22”， 由题意，得每台机器更换的的易损零件数为10的概率为150.350=， 每台机器更换的的易损零件数为11的概率为150.350=， 每台机器更换的的易损零件数为12的概率为200.450=， 所以()0.30.320.30.30.30.320.30.40.6P A =⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=．(3)解：若这50台机器在购机的同时每台都购买10个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()()15105015105010020105020061050⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+=元． 若这50台机器在购机的同时每台都购买11个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()30115020115010059050⨯⨯+⨯⨯+=元． 若这50台机器在购机的同时每台都购买12个易损零件，则这50台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为50125060050⨯⨯=元． 比较三个平均数可知，该公司购买1台机器的同时应购买11个易损零件．。