§11.1 磁感应强度 磁场的高斯定理 一、电场线与磁感应线的区别：
1、电场线是不闭合线，电场是有源场。

⎰=
⋅0εq S d E 0=⋅⎰
l d E 2、磁感应线是闭合线，磁场是无源场。

0=⋅⎰S d B I l d B L
∑⎰=∙0μ
二、毕奥－萨伐尔定律：
⎰⨯=204r e
l Id B r π
μ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
⊥⊥⨯⎰=)
,( sin 4 20r r e e B l d B l Id r Idl B 方向：大小：α
πμ
计算B
的解题步骤：
1. 取l Id ，求B d
（大小、方向）；
2. 将B d
分解成y x dB dB 、 ；分析对称性；
3. 求B
的大小和方向。

载流长直导线的磁感应强度： a I B πμ20= 载流圆线圈圆心处的磁感应强度：R
I B 20μ=
运动电荷的磁场：
204r e v q B r ⨯=πμ
B
题
1. 磁场环路定理的表达式为______；它表明磁场是________场。

磁场高斯定理的表达式为______；它表明磁场的磁感应线是_______的。

2．如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路，圆心角为θ，电流强度为I 。

求圆心处的磁感应强度。

3. 内外半径分别为a 、b 的圆环,其 匀带有面密度为σ 的电荷,圆环以角速度ω 绕通过圆环中心垂直于环面的 轴转动，求:
μo σω(b 4．如图，两段共心圆弧与半径构成一闭合载流回路，圆心角为θ，电流强度为I 。

求圆心处的磁感应强度。

方向向内）
(444sin 42
1020
202
012
020B B B a Idl B b Idl B r Idl r Idl dB a b -=====⎰⎰θθπμπμπμαπμ
如图，一无限长薄平板导体，宽为a ， 通有电流I ，求和导体共面的距导体 DDD 一边距离为d 的P 点的磁感应强度。

⎰
+====
d a d
dB
B dr
ar
I dB dr dI a I r dI dB πμπμ2200
dI
三、安培环路定理
安培环路定理: I l d B L
∑⎰=∙0μ
载流长直螺线管内的磁场：
nI B 0μ= 环形螺线管内的磁场：r
NI
B πμ20=
四、磁通量： ⎰⎰⋅=S d B m
φ 穿过闭合曲面的磁通量
0cos >=θφBdS m
0cos <=θφBdS m
磁场的高斯定理： ⎰⎰=⋅0S d B
习 题
1．磁感应强度B
沿闭合线L 安培环路定理为___________ 。

2．一根很长的半径为R 的圆柱形 导线均匀通有电流I ，现作一平面 S ，如图,长为 ，宽为2R 。

试计算 通过平面S
的磁通量。

3.
矩形截面的螺绕环总匝数为N ， 尺寸如图所示，求螺绕环内的磁感 强度B 和通过环截面的磁通量Φm 。

2．一根很长的半径为R 的圆柱形 导线均匀通有电流I ，现作一平面 S ，如图,长为 ，宽为2R 。

试计算 通过平面S 的磁通量。

2
102
2202
2020
1002222m m m R m R R m ldr
R Ir BdS R Ir B R I
r I I Bdl R
r ldr
r
I BdS r I B I Bdl R
r φφφπμφπμππμπμφπμμ+====
=''=<====>⎰⎰⎰⎰⎰⎰
五、带电粒子在磁场中的运动
洛仑兹力: B v q F
⨯=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⨯=）
的正负注意方向：大小：q qvB F B v q (sin
θ
(qB mv R ⊥= , qB
m T π2= )
例1: 一带电粒子在磁场和电场区域留下径迹21l l ，若已知1l 半径为1R ，2l 半径为2R ，外
磁场B
均匀，CD 间电势差为U ,计算该带电
粒子的荷质比。

× × × ×
2
1
2221
22221122121BR BR U m q mv mv qU M
qBR v M qBR v qB mv R -=-==
==
例2：一块厚a 、宽b 的半导体放入B
的均
匀磁场中，通以电流。

测得霍尔电势差为
)0(>=CD CD U V U 。

求：（1）半导体是
P
型还是N 型？（2
(1) N 型
(2) Bb
V v Bvb bE V U Bv
E eE evB
F F H CD H H e m =======
六、磁场对载流导线的作用
一．安培定律： B l Id F L
⎰⨯=
计算F
的解题步骤：
1．取l Id ，求F d （大小、方向），B l Id F d ⨯=
2．将F d
分解成y x dF dF 、
；分析对称性 3．积分求F
的大小和方向 B l Id F L
⎰⨯=。

七、磁场对载流线圈的作用
1．磁矩： n NIS P m
=
⎪⎩
⎪⎨⎧=
方向：面积的正法大小：NIS P m 单位：
2m A ∙
2．磁力矩： B P M m
⨯=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---⨯=右手螺旋法则
方向：大小：B P NISB M m θsin 单位： m N ∙
M NISB =
M=
max
⎰∑=⎰∑=⎰⎰∑=⎰⎰=∙∙∙∙⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
∑L L r
i I
l d H I l d B B H H B q S d D S d E E D D E S S i q
r
安培环路定律：　＝ 场 ＝ 磁场强度： 磁感应强度：　磁 高斯定理：＝ 场 ＝ 电　电位移矢量： 电场强度： －－－－－－－－－－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ μμμμμε
εεεε00
例：如图所示，正方形线圈，边长为a ，通有电流Ｉ，置于磁场中，则线圈的磁矩m P
的大小为________，方
向________。

线圈所
受磁力矩的大小
为________，
方向________。

例：如图所示,一等腰直角三角形线圈放在一无限长直导线旁,且两者共面.长直导线中通有电流I 1,三角形线圈中通 有电流 I 2,求线圈各
边受力的大小和方向。

I
例：半径为R 的平面圆形线圈中载有电流I 2 ，另一无限长直导线AB 中载有电流 I 1，设 AB 通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内（如图）,求圆形线圈所受的磁力。

习 题
1．如图，半径为R 的半圆形导
线载有电流I ，放在 B
的匀强磁场中。

求该半圆形导线所受的磁场力的大小和方向。

I
o
x
y
B
2．如图所示,一平面半圆形线圈放在一无限长直导线旁，且两者共面。

长直导线和半圆形线圈中都通有电流 I 。

求（1）AB 边受的磁场力的大小和方向；（2）BCA 半圆受的磁场力的大
小和方向。

(2cos 1cos x
tg x dx x x -=+⎰)
R
R
I
C
B
A I
3．如图所示,四分之一圆弧状的导线半径为R , 通以电流I, 处于B 的均匀磁场中。

求圆弧状导线所受的安培力。

O
Y
4．正方形线圈可绕Y 轴转动，边长为l ，通有电流I 。

现将线圈放置在方向平行于X 轴的均匀磁场B 中。

求：（1）线圈各边所受的作用力；（2）要维持线圈在图示位置所需的外力矩。

Z
B X
Y
I
l
30o。