i =1 i
d ln L nk k ＾ k = − ∑ xi = 0,∴＾ = 或β = β dβ β x x i
β
7.设母体X具有均匀分布密度 , 从中抽得容量为6的子样数值 1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试求母体平均数和方差 的最大似然估计量的值. 解: X ∼ U (0, β ) ，β 的最大似然估计 ＾ = max x = 2.2 β i ＾ β ＾ β µ = EX = ,∴ µ = = 1.1
+∞
λe−λ x , x ≥ 0 0, x < 0
∞
（λ
−λx
>0
）
Ex =
−∞
∫
xf ( x) dx = ∫ xλ e
0
1 dx = λ
用样本 x
1 ＾ 1 估计Ex，则有 x = ,∴ λ = λ x
12. X , 12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… p,k=1,2,… p , p 先用矩法求p 的估计量, 再求p 的最大似然估 . 计. 解 :( 1) 1)矩法分布为的正态母体的一个
1 子样，求 Y = σ 2
n
( X i − µ ) 2的概率分布。 ∑
i =1
xi − µ ∵ X ∼ N ( µ , σ ), 则yi = ∼ N (0,1), 且Y1 ,..., Yn 之间相互独立 σ
2
解：
xi − µ 2 1 2 2 Y = 2 ∑ ( xi − µ ) = ∑ ( ) = ∑ yi σ σ i i i χ 2 分布定义Y ∼ χ 2 ( n)，Y服从自由度为n的 由 χ 2分布。
都是 µ 的无偏估计，并求出每个估计量的 方差。问哪一个方差最小？ 2 1 2 1 2 1 解：＾ = E ( x1 + x2 ) = Ex1 + Ex2 = µ + µ = µ E µ1 ＾ 同理： 2和µ3 都是 µ 的无偏估计。 µ ＾
3 3 3 3 3 3
2 2 1 2 5 1 2 3 2 5 1 2 1 2 1 Dµ1 = ( ) + ( ) = , Dµ2 = ( ) + ( ) = , Dµ3 = ( ) + ( ) = ＾ ＾ ＾ 3 3 9 4 4 8 2 2 2
f ( x) =
1 ,0 ≤ x ≤ β β
2 2 2 β 1 ＾2 2 2 σ = DX = ,∴＾ = β = 0.4033 σ 12 12
8.设母体X的分布密度为
e ,x ≥θ f(x)= 0, x < 0
试求 θ 解： 的最大似然估计。
− ( x −θ )
e− ( x −θ ) , x ≥ θ X ∼ f ( x) = 0, x < 0
13. X [a,b]上的均匀分布, , 13.设母体X 具有在区间[a,b] 其分布密度为 f(x)=
1 ,a ≤ x ≤ b b−a 0, 其他
其中 a,b 是未知参数 , 试用矩法求 a 与 b 的估计 . 量. a+b 1 2 , DX = (b − a ) : 解: X ∼ U [a, b], EX =
n i =1 n i =1
似然函数
L = ∏ f ( xi ) = ∏ e − ( xi −θ )
d ln L ln L = −(∑ xi − nθ ), = 0无解 dθ i 为了使L达到最大， x − nθ ≥ 0，尽可能 ∑ i i 小， 尽可能大，而＾ ≤ xi ,∴θ = min xi = x(1) θ
yi = xi − a c
i
i
∑x = ∑(a + cy ), nx = na + cny,∴x =a+ cy
i i i i
1 1 c2 而 s2 = ∑(xi − x)2 = ∑(a + cyi − a − cy)2 = ∑( yi − y)2 = c2sy2 x n i n i n i
12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 92 94，103 105， 农作物，亩产量分别为92 94 103 105 92，94 103，105 106 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。 解：作变换
i i
∏
i =1
i
∏ 2σ
i =1
2σ
∑x
ln L = −n ln 2 − n ln σ −
i d ln L n =− + i 2 =0 dσ σ σ 1 σ 得 ＾= ∑ xi
i
i
σ
∑x
n
i
+∞
E xi = E X =
+∞
∫
−∞
x f ( x )dx
∞ −
=
∫
−∞
1 x e 2σ
x − σ
1 dx = 2 ∫ x ⋅ e dx = σ 2σ 0
∞
EX = ∑ k ⋅ (1 − p )
k −1
x −1 x −1 1 ((∑ −(1 − x ) ) ' = [ ]' = ( )' = 2 ) 1 − (1 − x ) x x i
i
1 ∴＾= p x
k =1
1 1 ⋅ p = p ∑ [−(1 − p ) ]' = p ⋅ 2 = p p k
k
i
2矩法估计
+∞
θ EX = ∫ x ⋅ f ( x) dx = ∫ x ⋅ θ ⋅ x dx = θ +1 −∞ 0
θ −1
1
用 X 估计EX
X ∴θ = 1− X
1 e 5.设母体X的密度为 f ( x) = 2σ
−
x σ
, −∞ < x < ∞
试求 σ 的最大似然估计;并问所得估计量是 否的无偏估计. ∑x x n n 1 −σ 1 n − σ 解： = f ( x ) = L e =( ) e
1 1 yi = xi − 100, a = 100, y = ∑ yi = × 0 = 0 n i 5
x = a + y = 100
2 1 1 2 sx = s y = ∑ yi − y = × [( −8)2 + ( −6)2 + 32 + 52 + 62 ] − 0 = 34 n i 5 2 2
x ∼ f ( x) =
1最大似然估计 L = ∏ θ ⋅ xiθ −1 = θ n ⋅ ∏ xiθ −1
i =1 i =1
0, 其他 n
( θ >0 )
n
ln L = n ln θ + (θ − 1) ∑ ln xi
i
d ln L n n = + ∑ ln xi = 0,∴＾ − θ= dθ θ i ∑ ln xi
1≤i ≤ n
θ
3 3 1 3 µ2 （2）＾ = X 1 + X 2 4 4 1 1 （3）＾ = X 1 + X 2 µ3 2 2
12设母体X服从正态分布 N ( µ ,1), ( X 1 , X 2 ) 是 从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三 个估计量 2 1 （1）＾ = X 1 + X 2 µ1
x σ
1 1 ∴ Eσ = E ( ∑ xi ) = ∑ E xi = σ n i n i
＾ 是 σ 的无偏估计. σ
6.设母体X具有分布密度 f(x)=
βk x k −1e − β x , x > 0 (k − 1)! 0, 其他
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大 似然估计量. 解:似然函数
λ ∑ Dx = n i
X -1 4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1 1）上均匀分 -1，1 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 −1 + 1 22 1 解： ∼ U (−1,1), Ex = x = 0, Dx = =
2 12 3
1 1 xi ) = ∑ Exi = Ex = 0 ∑ n i n i 1 1 1 Dx = D( ∑ xi ) = ⋅ Dx = n i n 3n
52 x ∼ N (40, ) 64
x − 40 1 8 ∴ P{ x − 40 < 1} = P{ < } = p{U < } 5/8 5/8 5
8 = 2Φ( ) − 1 = 0.8904 5
第二章 参数估计 X 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度 为 λ e−λ x , x ≥ 0 f(x)= 0, x < 0 其中 λ > 0 。试用矩法求的估计量。 解：x ∼ e(λ ) f(x)=
16.设母体X具有正态分布 N(0,1)，从此母体 6 x 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 C, 又设 Y = ( X + X + X ) + ( X + X + X )。试决定常数C, C,使 2 CY 得随机变量CY CY服从 χ 分布。 解： X ∼ N (0,1), Z1 = X 1 + X 2 + X 3 ∼ N (0, 3),
2
64
38 − 40 x − 40 43 − 40 ∴ P 38 ≤ x ≤ 43 = P{ ≤ ≤ } 5/ 6 5/ 6 5/ 6
{
}
= P{−2.4 ≤ U ≤ 3.6} = Φ (3.6) − Φ (−2.4) = Φ (2.4) = 0.9918
（2）n=64时，求 P{ x − 40 < 1} 解：
7.已知 X ∼ t (n) ，求证 X ∼ F (1, n)
2
证明：令
2 2
X=
U χ /n
2
∼ t ( n), 其中U ∼ N (0,1)