空间向量的应用教学设计
钟山中学徐玉学
一、教材内容分析：
在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。
二、学生学情分析：
学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。
但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。
三、教学目标：
（一）知识与技能
1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式；
2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。
（二）过程与方法
1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程；
2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。
（三）情感态度与价值观
1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。
2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。
a
B O 'B
四、教学重点、难点
重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。
五、教学策略
在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。
六、教学过程
（一）知识回顾 θ>=<b a b a
,,.1其夹角、已知向量，则
||||cos ,cos ||||b a b a b a b a
⋅⋅=⋅=⋅θθ
b a ⋅的几何意义是||a
与b 在a 方向上的投影的乘积 b 在a 方向上的投影O B ′=θcos ||b
2. ),,(),,,(222111z y x b z y x a ==
b a
⋅=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 0=⋅⇔⊥b a b a
3.如果非零向量n ⊥平面α，则称n
为平面α的一个法向量。
（二）新课教学 空间距离的向量解法 探究1：点到平面的距离
如图，AB 是平面α的一条斜线，A 为斜
足，n
是平面α的一个法向量，如何求点B 到平面α的距离d ？
学生合作探究，推导点到平面的距离的向量公式|
||
|n n AB d
⋅= 解析：设向量AB 和法向量n
的夹角为
θ，则|cos |||θ⋅=AB d
||AB d =∴，即||||n n AB d ⋅= 例1 如图，ABCD 是矩形，P D ⊥平面ABCD ，PD=CD=2,AD=22，M 、N 分别是 AD 和PB 的中点，求点A 到平面MNC 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系则A(22,0,0),M(2,0,0),N(2,1,1),C(0,2,0) ∴)0,0,2(),1,1,0(),0,2,2(==-=MA MN MC
设平面MNC 的一个法向量为),,(z y x n =
则1,1,200
22-===⎩⎨⎧=+=⋅=+-=⋅z y x z y MN n y x MC n 得令 )1,1,2(
-=∴n
∴点A 到平面MNC 的距离12
2
2=⋅=
=d 如果用传统几何法，你会解吗？（引导学生用等体积法求解） 探究2：两个平行平面间的距离
如图，平面α//β，直线l 分别与平面α和β交于A 、B 两点，n
是平面α的一个法向量，如何求平面α和β间的距离？ 解析：将两个平行平面间的距离转化为
点B 到平面α的距离，
所以|||
|n n AB d
⋅=
例2 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，E 、F 、M 、N 分别是边AD 、DC 、A 1B 1、B 1C 1的中点，求平面D 1EF 与平面BMN 的距离。
解析：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz 则E(a,0,0), F( 0,a,0),D 1(0,0,2a) ,B(2a,2a,0)
)0,2,(),2,0,(),0,,(1a a EB a a ED a a EF =-=-=∴
设平面EFD 1的一个法向量为),,(z y x n =
由1,220201===⎩⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅z y x az ax ED n ay ax EF n 得令 即)1,
2,2(=n
∴平面EFD 1与平面BMN 间的距离
a a a d 2342=+==
（三）巩固练习
如图，在三棱锥S-ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC 垂直平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别为AB 、SB 的中点，求：点B 到平面CMN 的距离.
解析：如图，取AC 中点O ，连OB 、OS,OA 、OB 、OS 两两垂直，以O 为原点建立 空间直角坐标系O －xyz,则
)2,3,0(),0,3,1(),0,0,2(),0,32,0(N M C B - )0,32,2(),2,0,1(),0,3,3(=-==∴CB MN CM
设平面CMN 的一个法向量为),,(z y x n =
由2,3220
20
33=-==⎩⎨⎧=+-=⋅=+=⋅z y x z x MN n y x CM n 得令
，即)2,32,2(-=n ∴点B 到平面CMN 的距离32
418
124=
-==d
C
G
E
（四）小结
1、本节课我们主要学习了空间 “距离”的向量解法。
无论是点到平面的距离还是
两个平行平面间的距离，都有|||
|n n AB d
⋅=。
2、运用“空间向量”这一工具，能避免较为复杂的空间想象，为立体几何代数化带来很大的方便。
3、在立几图形中合理建立空间直角坐标系，使“空间向量”坐标化，是解题的关键。
（五）作业
如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E,F 分别是AB,AD 中点，GC ⊥面ABCD,且GC ＝2，求点B 到面EFG 的距离。
七、板书设计。