导数问题中参数范围的求法
」、分离常数法 (I)常规分离常数法
g(a) f (x) min g(a) f (x) max
(U)能分离常数，但求稳定点困难
原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算
例2、已知函数f (x ) 1一―1) (x 0)，若当x 0时，f(x)
x
求正整数k 的最大值.
(x
叭呛 ° ° , h(x) x 1 ?
x 1)
x
x
设 g(x) x 1 In(x 1) 从而 h(x) 0与g(x) 0在(0,)有相同根
x
g (x)
0 由于 g(2)
0且 g(3) 0
x 1
所以g(x) 0存在唯
根 (2,3) 故g()
0 得 1 ln( 1) 0 x (0, )时 g(x) 0
h '(x) 0 x (, )时 g(x) 0 h '(x) 0
h(x)min
(
1)(I n(
1) 1)
1
(3,4)
h()
所以k
h
(X )min
1 4
又因为 k Z ，
故k max
3
・
(川)能分离常数，但求最值困难
例1、(2010全国卷一)已知函数f(x) (x
1)ln x x 1，若 xf (x)
x 2 ax 1，
f '(x) x 1 , Inx x xf '(x) x 2 ax 1
令 g(x) In x x (
当0 x 1
时 g '(x) g ( x)
mac
g(x) 1
求a 的取值范围. a 0)
，
解: 1 x Inx 1
x In x x
g(x)
x
当 x 1 时 g '(x) 0
g (1)
所以g(x) 1 故a 1 原理：将所给不等式变形为
g(a) f(x) g(a) f (x)
恒成立,
解：有已知k (x 1)f (x)
(x 1)(1 n(x 1) 1)
x
设 h(x)
例3、已知函数f(x) (x 1)1 n(1 x)，若当x 0时,f(x) ax 恒成立，求a 的
取值范围.
当x 0时
由已知a 丄色(1 x )ln (1 x)
x x
(1 x)l n(1 x) ' x ln(1 x)
令 g(x) g (x) -
x x
所以a 的取值范围是［1,).
注：此题求最值时应用洛必达法则 洛必达法则1 (适用于0型不定式极限)
0 若函数 f 和g 满足：① lim f(x) lim g(x) 0；
x X Q
x X Q
② 在点x 0的某空心邻域U °(x o )内两者都可导，且g (x) 0 ；
③ lim 3 A ( A 可为实数，也可为 或)； x xo
g (x) 则 lim"^ limA. x
X 。
g(x) x xo g (x)
洛必达法则2 (适用于一型不定式极限) 若函数 f 和 g 满足：① lim f (x) lim g(x) ;
X
x
o
X X 。
② 在点X 。
的某空心邻域U °(x 。
)内两者都可导，且g (x) 0 ；
③ limd A ( A 可为实数，也可为 或)； x x
o
g (x)
则lim 型lim 少 A. x x
o
g(x) x x o
g (x)
此方法对与高中生来说理解上稍有难度， 但对于研究高中教学的人来说，更 进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的 • 、最值转化法
解：当x 0时 f(0)
0 a R 有f (x) ax 恒成立
令 h(x) g(x)min x ln(1 x) h '(x) 故 h(x) h(0) 0 进而 g '(x)
x m g (x
)
00 (1 x) ln(1 x)
x
IJm[ln(1 x) 1] 1
适用干①不能分离常数
适用于：②能分离常数，但求稳定点或最值困难
(I)局部最值转化
1 a
例4、(2010山东)已知函数f x Inx ax 1(a R).
x
1
设g x x2 2bx 4.当a —时，若对任意x i (0,2)，存在x? ［1,2］使
4
f刘g x2 .求实数b的取值范围•
解：由于“对任意人(0,2)，存在X2 ［1,2］使f人g X2 ”等价于“ g(x)在［1,2］上的最小值不大于f (x)在(0,2)上的最小值”
1
当a 时f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增
4
1
f (x) min f(1)
2
g x x 2bx 4 , x [1,2]
①当b 1时,g(x)min g(1) 5 2b 1 11
b中舍)
②当1 b 2时，g (x) min g(b) 4 b2 1 |b| 4(舍)
2 2
③当b 2时，g(x)min g(2) 8 4b 1 「17
b .
2 8
综上b的取值范围是［斗).
(U)整体最值转化
方法：设辅助函数
辅助函数的设法：①移项作差设辅助函数
②利用泰勒展式设辅助函数
利用泰勒展式设辅助函数：f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f (x)(x x0)2 2!
实质：任意一个函数都可由幕函数近似表示•
例5、已知函数f(x) (x 1)ln(1 x)，若当x 0时，f(x) ax恒成立，求a的取值范围.
解：设g(x) f(x) ax (1 x)ln(1 x) ax
g(x)min g (e a 1
1)
a
1
当a 一时 令g (x)
0 解得x In 2a
0 x In 2a 时g '(x) 0 g(x)在［0,)单调递减，即f (x)在［0,)单调递减
当x 0时，由已知
x
e 1 x a
2
x
2
2 3
令 g(x) e x 1 x
X (x 0) (由于e x
1 x
x
X )
2
2!
3!
' x
g (x) e 1 x
令 h(x) e x 1 x ，
h '(x) x
e 1 0
R 使得f(x)
0恒成立
，
方法一：解：当x
故 g (x) h(x) h(0) 0
进而 g(x) g(0)
当 a 1 时，g '(x) 0
, g(x)
g(0) 当 a 1 时，0 x e a
g (x)
e a 1 1 g '(x)
所以a 的取值范围是(
,1]. 例6 (2010新课标卷)设函数
f(x) x ax 2 ，若当x 0， f (x)
0恒成
立，求a 的取值范围.
0时,f(0)
所以e x
1 x 2
x e x 1 x 2
2 -2
x x
故a 的取值范围是&
).
说明：此处引进泰勒展式设辅助函数，以避免有些教师辅助函数设法的 “经验说”. 方法二：解: f (x) e x 2ax 1，设 g(x) f (x) e x 2ax 1， g (x) e x 2a
g '(x)
0 g(x) g(0)
即f'(x) 0 f (x)在［0,)上单调递增 故 f (x) f (0) 0
所以x (0,1 n2a) , f(x) f (0) 0与题意不符
综上a的取值范围是［1,).
2
声明：本文部分题引用高考数学卷，但为了充分直接地说明问题，部分地方对高考真题略有改动，。