利用导数求参数取值范围的几种类型
学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围
（2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯
学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数
学习过程：
类型1. 与函数单调性有关的类型
例1. 已知0a >，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。

(1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由；
(2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。

解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。

所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。

（2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤
规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ⇔≥，递减'()f x ⇔0≤在此基础上再
研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。

类型2. 与不等式有关的类型
例2. 设函数1()(01)ln f x x x x x
=>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 已知12a
x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围
解：（1）'22ln 1()x f x +=-，'1()0,f x x ==若则，列表如下：
所以的单调增区间为，单调减区间为
（3） 在1
2a x x >两边取对数，得1ln 2ln a x x >由于01x <<所以1ln 2ln a x x
>① 由（1）的结果知，当(0,1)x ∈时，1
()()f x f e e ≤=-。

为使①式对所
有(0,1)x ∈成立，当且仅当ln 2
a e >-即ln 2a e >- 规律小结：在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数()g x ，若类似于
()a g x ≥，则只要研究max ()a g x ≥；若类似于()a g x ≤，则只要研究min ()a g x ≤ 类型3：与极值有关的类型
例3：若函数2()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，求a 的取值范围。

解：由已知可得'2()(1)(2)x x f x e x ax a e x a =+++++= 22)21x e x a x a ⎡⎤++++⎣⎦（，若
函数不存在极值点，则在方程'()0f x =即22)210x a x a ++++=（中，有22(2)4(21)40a a a a ∆=+-+=-≤，解之得04a ≤≤
规律小结：极值点的个数，一般是使'()0f x =方程根的个数，一般情况下导函数若可以化
成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。

类型4：与方程有关的类型
例4：试确定a 的取值范围，讨论x xe a =解的个数（解略）
练习：
1. 已知321(2)33
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是___
2. 设3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的范围是______
3. 已知321()22
f x x x x c =-
-+，若对[]1,2x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围
4. 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++同时有极大值和极小值，求a 的取值范围。

归纳总结：。