利用导数求参数的取值范围一•已知函数单调性，求参数的取值范围类型1 •参数放在函数表达式上
例1. 设函数f(x) 2x33(a 1)x2 6ax 8其中a R •
⑴若f (x)在x 3处得极值,求常数a的值.
⑵若f(x)在(,0)上为增函数,求a的取值范围
二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型1.参数放在不等式上
2
例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x —与x 1时都取得极值
3
(1 )求a、b的值及函数f (x)的单调区间.
(2)若对x [ 1,2],不等式f (x) c—恒成立，求c的取值范围.
2
3. 已知函数f (x) x3— 2x 5,若对任意x [ 1,21都有f (x) m则实数m的取值范围是2
类型2.参数放在区间上
例4 .已知三次函数f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f(x)在x=3处有极值.
(1 )求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.
分析:(1) f (x) x3 5x2 3x 9
' 2
(2).f (x) 3x 10x 3 (3x 1)(x 3)
由f (x) 0 得x1 i,x2 3 当x (0,1)时f'(x) 0, f(x)单调递增，所以f (x) f (0) 9
3 3
当x (】,3)时f '(x) 0, f (x)单调递减，所以f (x) f(3) 0
3
所以当m 3时f(x) 0在(0,m)内不恒成立,当且仅当m (0,3]时f (x) 0在(0,m)内恒成立
所以m的取值范围为(0,3]
基础训练：
4. 若不等式x4 4x3 _________________________________________ 2 a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________________________________ .
三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围.
例5.已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1, x 1处取得极值
(1)求函数f (x)的解析式.
⑵若过点A(1,m)(m 2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
3
略解(1)求得f (x) x 3x
(2)设切点为M(x0,x0 3x0),因为f'(x) 3x2 3
所以切线方程为y m (3x：3)(x 1),又切线过点M
所以x；3x o m (3x；3)( x o 1)
即2x：3x； m 3 0
因为过点A可作曲线的三条切线，所以关于x0的方程有三个不同的实数根
设g(X o) 2x；3x0 m 3 则g'(x°) 6x［6x°
由g (x0) o得x0 o或x0 1
所以g(x0)在(,0),(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，故函数g(x0)的极值点为x00,x0 1 所以关于x0的方程有三个不同实根的充要条件是g(0)°解得3 m 2
g(1) 0
所求的实数m的取值范围是(3, 2)
总结：从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数
.基础训练：
5. 设a为实数，函数f (x) x3 x2 x a
⑴求f (x)的极值
⑵当a在什么范围内取值时，曲线y f (x)与x轴仅有一个交点
_/ 、 3 2
变式2：若函数f(x) ax x x 5在(，)上单调递增，求a的取值范围。
、. ______ ___ 1
变式3：已知函数f (x) 2ax 2, x (0,1］，若f (x)在区间(0,1］上是增函数，求a的取值范围。
x
变式4：已知函数f(x) x3 ax2 x 1，a R .
(i)讨论函数f (x)的单调区间；
2 1
(n)设函数f (x)在区间，—内是减函数，求a的取值范围.
3 3
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★高考真题演练
(2017 年理 21)已知函数 f (x) ae 2x (a 2)e x x
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，求a 的取值范围。
(2017 年文 21)已知函数 f (x) e x (e x a) a 2x
(1) 讨论f (x)的单调性；
(2) 若f(x) 0,求a 的取值范围。
2 1
(2017年文科14)曲线y x 2 —在点(1,2)处的切线方程为
_____________________ x
(2016 年文、理 21)已知函数 f (x) (x 2)e x a(x 1)2
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)有两个零点，求a 的取值范围.
变式1 ：已知f (X) x 3 lx 2 2x 5, x [ 1,2], f (x) 2
m 恒成立，求实数 m 的取值范围
_xO001
1 a 2
(2014年文科21)设函数f x a lnx x bx a 1，曲线y f x 在点1, f 1处的切线斜率为0
2
(1 )求 b;
a
(2)若存在x o 1,使得f x 0 ，求a 的取值范围。
a 1
求 a, b ； (n)证明：f (x) 1.
(2013 年理科 21)已知函数 f (x ) = x 2 + ax + b , g (x ) = e x (cx + d )，若曲线 y = f (x )和曲线 y = g (x )都过点 P(0, 2), 且在点P 处有相同的切线 y = 4x +2
(I) 求 a , b , c , d 的值
(n)若x >- 2时，f (x ) w kgf (x )，求k 的取值范围。
(2014年理科21)设函数f(x0 b X 1
ae x lnx 旦，曲线y x f (x)在点(1, f (1)处的切线为
y e(x 1) 2. ( I)。