《偏微分方程》教学大纲
课程编号：121322B
课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课
□专业必修课 专业选修课
□学科基础课
总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0
学分：2
适用对象：数学与应用数学（金融方向）
先修课程：数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程
（以上标题为黑体，四号字；内容为宋体，四号字）
一、教学目标（黑体，小四号字）
目标1：本课程是偏微分方程理论的入门课，以数学分析、高等代数、实变函数与泛函分析、常微分方程为先修课程，并且是先修课程的运用和知识的深化。

目标2：本课程具有较强的应用性，在物理、经济、金融等学科中有广泛的应用。

物理、经济、金融中的偏微分方程的学习和研究对理解相关领域前沿本质问题有深刻的作用。

目标3：本课程的学习使学生对进一步研究更深的数学、金融、经济前沿科学知识打下坚实的基础
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（黑体，小四号字）
本课程包括经典线性偏微分方程的推导、理论和应用。

精讲偏微分方程的背景和严格推导、二阶双曲型偏微分方程理论、二阶抛物型偏微分方程理论、二阶椭圆型偏微分方程理论，及偏微分方程在金融、经济中的应用等；选讲偏微分方程的变分原理、反问题等。

通过对实际问题的分析、模拟、以往知识的回顾，循序渐进讲授重点内容。

学生要活学活用已学知识认真完成课后作业。

该课程能有效地开阔学生的学术视野，增强知识能力，为进一步研究学习前沿科学厚实学识基础。

三、各教学环节学时分配（黑体，小四号字）
以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：（宋体，小四号字）
教学课时分配
四、教学内容（黑体，小四号字）
第一章方程的导出和定解条件
第一节守恒律
第二节变分原理
第三节定解问题的适定性
1 、重点、难点
多重指标记号
2、考核要求：
掌握多重指标记号, 偏微分方程中的基本概念和定解问题的意义。

3、复习思考题：
复习主要偏微分方程的物理背景、定解的适定性。

第二章波动方程
第一节一阶线性方程的特征线解法
第二节初值问题（一维情形）
第三节初值问题（高维情形）
第四节混合问题
1 、重点、难点
波动方程的解法及其初值问题和初边值解的唯一性及稳定性。

2、考核要求：
掌握一，二，三维波动方程的物理意义和解法，波动方程的唯一性和稳定性。

3、复习思考题：
思考复习波动方程的求解方法。

第三章热传导方程
第一节初值问题
第二节混合问题
第三节极值原理和最大模估计
第四节反问题的不适定性
1 、重点、难点
热传导方程的解法和初值问题和初边值解的唯一性及稳定性，极值原理。

2、考核要求：
掌握热传导方程的物理意义和解法及其唯一性和稳定性。

3、复习思考题：
复习傅里叶变换、热传导方程的求解方法、极值原理、能量模估计。

第四章位势方程
第一节基本解与Green函数
第二节极值原理与调和函数的性质
第三节变分方法
第四节Cauchy问题的不适定性
1 、重点、难点
Green函数和极值原理。

2、考核要求：
掌握位势方程的物理意义和解法及其唯一性和稳定性。

掌握Green函数，极值原理。

3、复习思考题：
回顾如何用Green函数求解位势方程？位势方程的极值原理、能量模估计、变分原理？
第五章欧式期权定价-Black-Scholes公式
第一节历史回顾
第二节Black-Scholes方程
第三节Black-Scholes 公式
1 、重点、难点
利用偏微分方程解决经济金融问题
2、考核要求：
了解偏微分方程在金融经济中的应用
3、复习思考题：
思考如何求解带有各种不同形式定解条件的Black-Scholes方程？
五、考核方式、成绩评定（黑体，小四号字）
本课程所采用考核方法: 论文
本课程平时成绩与期末考试成绩所占的百分比例分别为：60%、40%
平时成绩包括课堂出勤成绩和课后作业成绩，分别占总成绩的10%和50%
六、主要参考书及其他内容
[1] 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣等,《数学物理方程讲义》(第二版)，北京，高等教育出版社，1996年.
[2] 姜礼尚，《期权定价的数学模型与方法》（第二版），北京，高等教育出版社，2008年.
[3] 谷超毫，李大潜，陈恕行等，《数学物理方程》（第二版），北京，高等教育出版社，2002年。

[4] 陈祖墀，《偏微分方程》（第二版），合肥，中国科学技术大学出版社，2002年。

执笔人：窦昌胜教研室主任：系教学主任审核签名：。