习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；设事件A 表示：平均得分在80分以上。

（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；设事件A 表示：第一颗掷得5点；设事件B 表示：三颗骰子点数之和不超过8点。

（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A 表示：取出的三个球中最小的号码为1。

（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；设事件A 表示：至多只要投50次。

（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。

1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。

（1）写出该随机试验的样本点和样本空间；（2）设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。

试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？（a ）AB ； (b) B A +； (c) B ； (d) B A -； (e) BC ； (f) C B + 。

1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）A 发生； （2）A 不发生，但B 、C 至少有一个发生；（3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生；（5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生；（7）三个事件不都发生。

1.4 设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，求下列事件：（1）B A ； （2）)(BC A 。

1.5 设A 、B 是随机事件，试证：B A AB A B B A +=-+-)()(。

1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability 的概率。

1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。

1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。

1.9 为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。

求最强的两个队被分在不同组内的概率。

1.10 在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13张牌中：（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。

（2）恰有大牌A 、K 、Q 、J 各一张，其余为小牌的概率。

1.11 从0，1，2，…，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）=1A {三个数字中既不含0，也不含5}；（2）=2A {三个数字中不同时含有0和5}；（3）=3A {三个数字中含有0，但不含5}。

1.12 一学生宿舍有6名学生，求：（1）6个人的生日都在星期天的概率；（2）6个人的生日都不在星期天的概率；（3）6个人的生日不都在星期天的概率。

1.13 将长为a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。

1.14 A 、B 是随机事件，已知a A P =)(，b B P =)(，c AB P =)(，求：（1）)(B A P +； （2）)(B A P ； （3）)(B A P ； （4）)(B A P + 。

1.15 设A 、B 、C 是事件，已知4/1)()()(===C P B P A P ，8/1)()(==AC P BC P ，0)(=AB P ，求A 、B 、C 都不发生的概率。

1.16 设A 、B 是随机事件，且满足)()(B A P AB P =和p A P =)(，求)(B P 。

1.17 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。

加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。

（1）求任意取出的零件是合格品的概率。

（2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。

1.19 已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。

求此人是男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。

1.20 设A 、B 是随机事件，且满足)()(A B P A B P =，证明事件A 、B 是相互独立的。

1.21 设A 、B 是随机事件，且0)(>A P ，0)(>B P 。

证明事件A 、B 相互独立与互不相容不能同时成立。

1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为a ，b ，c ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？1.23 设A 、B 是随机事件，假定4.0)(=A P ，而7.0)(=+B A P ，令p B P =)(。

（1）p 取何值时才能使A 、B 互不相容？（2）p 取何值时才能使A 、B 相互独立？1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。

求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。

1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。

1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。

问：用这种方法认为该批产品合格的概率是多少？1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为004.0=p ，各支枪能否击中飞机是相互独立的。

求：（1）250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率；（2）需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。

如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。

求飞机被击落的概率。

习题解答习题一1.1（1）样本空间可以表示为}100,,3,2,10{ ，=Ω；事件}100,,82,81{ =A 。

（2）样本空间可以表示为}18,,5,4,3{ =Ω；事件}17,,8,7{ =A ，}8,,4,3{ =B 。

（3）样本空间可以表示为),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(,),4,2,1(),3,2,1{(=Ω )}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(；事件)}5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3.2,1{(=A 。

（4）样本空间可以表示为},12,11,10{ =Ω；事件}50,,12,11,10{ =A 。

（5）样本空间可以表示为}0,0,0,1),,{(>>>=++=Ωz y x z y x z y x 。

1.2 （1）设样本点i ω表示“抽到i 号卡片”(8,,2,1 =i )，样本空间可以表示为},,,{821ωωω =Ω；（2）},{42ωω=AB 表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”；},,,,,{864321ωωωωωω=+B A 表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”； },,,{7531ωωωω=B 表示“抽到标号是奇数的卡片”；},{31ωω==-B A B A 表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”；},,,,,,{8754321ωωωωωωω=BC 表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除（即标号不是6的倍数）的卡片”；},,{751ωωω==+C B C B 表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。

1.3（1）A ；（2）)(C B C B BC A ++ 或)(C B A +；（3）C B A C B A C B A ++；（4）BC A C B A C AB ABC +++ 或BC AC AB ++；（5）C B A 或C B A ++；（6）C B A C B A C B A C B A +++ 或B A C A C B ++；（7）ABC 或C B A ++。

1.4（1）}7,5,3,2{=+=B A B A ；（2）}10,9,8,7,6,4,3,1{)(=+=BC A BC A 。

1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知：))(()()(A B B A A B B A A B B A ++=+=-+-B A AB BA B B A A B A +=+++=。

1.6 在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有 711P 种不同的方法。

要得到ability ，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。

所以，P {连抽7张，排列结果为ability}=41580011111221711=⨯⨯⨯⨯⨯⨯P 。

1.7 由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有5109⨯种，其中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有567899⨯⨯⨯⨯⨯种。

所以，所求概率为： P {满足条件的电话号码}1512.0105678910956789955=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=。

1.8 10本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 !101010=P 。

为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有!888=P 种；但这3本书还可以有!333=P 种排法，所以，满足条件的排法共有!3!8⨯种。

因此，所求概率P {其中指定的3本书恰好放在一起}=0667.0151!10!3!8≈=⨯。

1.9 解法一 我们先来求把20个球队任意分成两组的方法数。

注意到每种这样的分法可以这样得到：从20个球队中任意取出其中的10个队作为一组（剩下的为另一组）。

所以共有1020C 种不同的分法。

再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。

每种这样的分法可以这样求得：先从2个强队中任意取出1个队，有12C 种取法，再从18个不是强队的球队中任意取出9个队，有918C 种取法，这样取出的10个队作为一组（剩下的为另一组）。

所以共有91812C C 种不同分法。