s=s1-σ
用s1取代特征方程中的s，即得s1平面上的特征方程 A(s1)=0，则可以在s1平面上应用劳斯判据。
【例3-7】在例3-6中，若要求系统特征根全部位于s=-1的左 边，试求K的取值范围。
解：系统的特征方程为
As s3 14s2 40s 40K 0
将s=s1-1代入上式，得
A s (s1 -1)3 14(s1 -1)2 40(s1 -1) 40K 0
1) 从输入端定义 从输入端定义，把系统的输入信号r(t)作为被控量的
期望值，把反馈信号b(t)作为被控量的实际值，把两者之 间所产生的偏差信号定义为误差e(t)，即
e(t) r(t) b(t)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
2) 从输出端定义
从输出端定义，把被控量的期望值cr(t)与实际值c(t) 之差定义为误差e′(t)，即
j 1
k 1
lim c(t)
t 0
lim
t 0
q j 1
Aje pjt
r
k 1
Ak ekt
coskt sin kt
0
实根情况下系统的稳 定性
共轭复根情况下系统的稳 定性(稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(临界稳定)
共轭复根情况下系统的稳 定性(不稳定)
对一阶系统而言，其系统的闭环传递函数为
D(s)
【例3-8】上图
中，
，
试求：
Gc (s)=2
，G0 (s)
=
1 s 1
H (s)=1
。
(1误) 差r(。t)=41(t) d(t)=，1(t)
(2) r(t)=1(t) d(t，)=sin4t
误差。
时系统的稳态 时系统的稳态
解： (1) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数 Eer(s)为
自动控制原理 第三章时域分析法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
第3章 时域分析法
3.1 控制系统的典型输入信号 3.2 线性系统的稳定性分析 3.3 代数稳定判据 3.4 稳态误差分析与计算 3.5 复合控制系统的稳态误差 3.6 控制系统的动态响应及 3.7 二阶系统的动态响应分析 3.8 二阶系统的动态响应分析 3.9 二阶系统性能的改善 3.10 高阶系统的动态分析 3.11 控制系统时域分析的MATLAB应用
E(s) R(s) C(s)
2．稳态误差的概念
误差信号的稳态分量为稳态误差，其公式为
ess
lim e(t)
t
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
ess
lim e(t)
t
lim sE(s)
s0
essr
essd
er (s)
Eer (s) R(s)
1
1 Gc (s)G0 (s)H (s)
a1
s0
a3
由劳斯定理知：①特征方程式各项系数都为正值，有a0>0，
a1>0，a2>0，a3>0；②劳斯表中第一列系数都为正值有 a1a2-a0a3>0或a1a2>a0a3。
【例3-3】判定A(s)=s4+3s3+s2+3s+1=0是否稳定。
解：
s4 1 1 1 s3 3 3 0
s2 0( ) 1
eed (t)
4 e3t 25
4 cos 4t 25
3 sin 4t 25
可用例3-2的结论确定K值范围。特征式各系统为正：a0>0， a1>0，a2>0， K>0；三阶系统中特征方程系数两内项的积大 于两外项的积，即 ，得K<14。所以0<K<14时，系统稳定。其 稳定的临界放大倍数KL=14。
2．确定系统的稳定裕量
设特征方程的根与虚轴的距离至少为σ，把原s平面的 虚轴左移σ，得到新的平面s1，则有
b1 b3 b1
a0 a6
b3
a1 a7 a1
a1 a7
c3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1
b4 b1
(1) 特征方程式全部根在s平面左侧的充分必要条件是：①特 征方程式各项系数都为正值；②劳斯表中第一列系数都为 正值。
(2) 若劳斯表第一列系数有符号改变，则有右侧根(正根)出 现，右侧根的个数等于符号改变的次数。
【例3-1】已知系统的特征方程为
e(t) cr (t) c(t)
E(s)
Cr
(s)
C(s)
Rs H s
C
s
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s)H(s)
E(s) R(s) B(s) R(s) C(s) E(s) H(s) H(s) H(s) H(s)
E(s) E(s) H (s)
在单位反馈系统中，H(s)=1，两个定义可以统一， 即有
3.1.4 脉冲函数信号
0 (t 0，t )
r(t)
A
(0 ≤ t ≤ )
R(s) A
3.1.5 抛物线函数信号
r(t) Asint
R(s) A 2 s2
3.2 线性系统的稳定性分析
3.2.1 稳定的基本概念
设线性定常系统处于某一平衡状态，在外作用(例 如系统有扰动作用)下，系统离开原来的平衡状态，在 外作用消失后，经过足够长的时间它又能够回到原来的 平衡状态，则称这样的系统是稳定的系统，否则为不稳 定的系统。
s(s 3)
essr
lim
s0
sEer
(s)
lim s
s0
(s 1) s(s 3)
1 3
Eed
(s)
1
G0 (s)H (s) Gc (s)G0 (s)H
(s)
D(s)
(s
4 3)(s2
16)
4
4 1 4 s-3
Eed (s) (s 3)(s2 16) 25 s 3 25 s2 16
A(s)=3s4 +10s3 +6s2 +40s+9=0
试用劳斯表判断该系统的稳定性，若不稳定，则指出有半 平面特征根的个数。
s4
3
6
9
s3
10
40
s2 10 6 40 3 6 10 9 0 3 9
10
10
s1 (6) 40 9 10 55 6
s0
9
简化计算
s4 1 2 3
s3 1 4
3.3.2 用代数稳定判据分析系统时的应用
1. 确定闭环系统稳定时其参数的取值范围 【例3-6】确定图示系统稳定时放大倍数K的取值范围。
解：
(s) C s
K
K
R(s) s(0.1s 1)(0.25s 1) K 0.025s3 0.35s2 s K
As s3 14s2 40s 40K 0 As a0s3 a1s2 a2s a3
s2 -2 3
s1 5.5 s0 3
特征方程各项系数虽为正，但劳 斯表第一列系数不全为正，故有 右侧根(正根)，系统不稳定。第 一列系数符号有两次改变，故有
【例3-2】三阶系数的特征方程为 A(s)=a0s3+a1s2+a2s+a3=0，
判断其稳定性。
解：
s3
a0
a2
s2
a1
a3
s1 a1a2 a0a3 0
充分条件：首先，制作劳斯表
解：
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4 sn3 c1 c2 c3 c4
a0 a2
b1
a1 a3 a1
a1 a3
c1
b1 b2 b1
s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1
a0 a4
b2
a1 a5 a1
a1 a5
c2
s4 +6s2 +8=(s2 +4)(s2 +2) 0
(s2 +4) 0 s1,2 j2
s5,6 1 j2
(s2 +2) 0 s3,4 j 2
有纯虚根存在，则系统临界稳定。左半平面有2个根，虚 轴上有4个根，右半平面没有根。
【例3-5】若系统特征方程为
A(s)=s6 +3s5 +2s4 +4s2 +12s+8=0
3.1 控制系统的典型输入信号
3.1.1 阶跃函数信号
r(t
)
0 A
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s
3.1.2 斜坡函数信号
r(t
)
0 At
(t 0) (t ≥ 0)
R(s) A s2
3.1.3 抛物线函数信号
0 (t 0)
r
(t
)
At
2
(t ≥ 0)
R(s) 2A s3
s1 3 3
s0 1
现在考察劳斯表第一列中各项数值。当ε趋近于零时， 的值3是-一3 绝对值很大的负数值，因此可以认为第一列中 各项数值 的符号改变了两次。由劳斯判据得，该系统有 两个极点具有正实部，系统是不稳定的。
【例3-4】已知系统的特征方程为
A(s)=s6 +2s5 +8s4 +12s3 +20s2 +16s+16=0
(s)
D(s)
1 s(s
3)
essd
lim
s0
sEed
(s)
lim s s0
1 s(s 3)
1 3
41 ess essr essd 3 3 1
(2) 给定输入r(t)作用下(d(t)=0)，误差传递函数Eer(s) 为