高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明
【知识要点】
一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明
空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.
方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),
(,,)a x y z b x y z ==
向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==
1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）
3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.
三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】
【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC
平面BDE DE =，
所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .
所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面
PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成
最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.
【例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD
AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
（Ⅲ）
A
B
C
D
P
E
A
B
C
D
P
E
M
⊥的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明PD⊥平面ABE的【点评】（1）证明CD AE
PC CD
关键是证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线,.
【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.
【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点. （1）证明：1A G ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.
(2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量 设1
AG 与CE 夹角为θ，则11cos A G CE A G CE
θ⋅==
⋅231-⋅2
3
=- 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ- ∴二面角E DF C --的余弦值为
2
3
. 【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法.
【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AE ⊥平面ABCD ，
,1,AE CF AB AE AF BE ==⊥．
（1）求证：AF ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲： 空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案
【反馈检测1答案】(1)证明略；.
（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位
长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()
()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距
离的
1
2，即E 为DB 的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫
=-=-=- ⎪
⎪⎝
⎭
.
【反馈检测2答案】（1）见解析;(2）所求二面角得余弦值为
5
． 【反馈检测2详细解析】（1）设AC BD O ⋂=以O 为空间直角坐标系原点，以OB 为x +轴，以OC 为y +
轴，以过O 点平行于AE 的射线为z +轴建立空间直角坐标系xOy ∵1AB AE ==，且菱形ABCD 中60ABC ∠=︒
∴1110,,0,,0,,0,,0,,122222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ∵AE
CF 且()0,0,1AE =，∴设()()0,0,0CF λλ=> ∴1
0,,2
F λ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
又∵AF BE ⊥
∴102AF BE λ⋅=-
+=，∴12λ=，∴110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
又∵()
10,1,
02AF BD ⎛⎫
⋅=⋅= ⎪⎝
⎭
∴AF BD ⊥，又AF BE ⊥且BD BE B = ∴AF ⊥平面BDE
（2）设⊥m 平面BEF ，(),,x y z =m
∴()11,,,1022
BE x y z x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭m
设所求二面角为θ，则有cosθ=.。