立体几何综合复习
一、直线与平面垂直
1．定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直
数学描述：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a b P
=⇒l⊥α
3．直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行
数学描述：a
b
α
α
⊥⎫
⎬
⊥⎭
⇒a b
∥
4．直线与平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面
上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
．．，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90；一条直线和平面平行，或在平面内，
我们说它们所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角
．．．．．．．．．α．的范围是
．．．．π
[0,]
2
.
5．常用结论（熟记）
（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
二、平面与平面垂直
1．定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作αβ
⊥.
2．平面与平面垂直的判定定理
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.简记为：线面垂直⇒面面
垂直
图形语言
符号语言l⊥α，lβ
⊂⇒α⊥β
作用判断两平面垂直
3．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记为：面面垂直⇒线线平行
图形语言
=l
a
a
a l
αβ
αβ
βα
⎫
⎪
⎪
⇒
⎬
⊂⎪
⎪
⊥⎭
⊥
⊥
4．二面角
（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
．．．．
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
（3）二面角的范围：[0,π].
三、垂直问题的转化关系
考向一线面垂直的判定与性质
典例1如图所示，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，下列说法中错误的是
A．平面B．平面C．平面D．平面
1．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 、F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是底面ABCD 上（含边界）一动点，且满足1A P EF ⊥，则线段1A P 长度的取值范围是
A ．51,⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．53,2⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
C ．1,3⎡⎤⎣⎦
D ．2,3⎡⎤⎣⎦
典例2 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段
的中点．
（）求证：平面
； （）求证：直线
平面
；
2．如图1所示，在Rt ABC △中，∠C =90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将
ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．
（1）求证：1A F BE ⊥；
（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．
考向二面面垂直的判定与性质
判定面面垂直的常见策略：
(1)利用定义(直二面角)．
(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．
(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
典例4 如图,直三棱柱中,分别是的中点,.
（1）证明:平面;
（2）证明:平面平面.
考向三 线面角与二面角
求直线与平面所成的角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤： ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； ③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． (2)求线面角的技巧：
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
典例5 正三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为 A ．
35 B ．
45 C ．34
D ．
55
典例6 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点. （1）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；
（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45°，求三棱锥F AEC -的体积.
4．如图，四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
.
（1）求证:; （2）求证:平面
; （3）若二面角的大小为
,求直线
与平面
所成的角.
1．下列命题中不正确的是
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ
2．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中不正确的是
A．c
c
α
β
αβ
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⎭
∥
B．
a b
b b c
c a
β
β
⊥⎫
⎪
⊂⇒⊥
⎬
⎪
⎭
是在内的射影
C．b c
b c
c
αα
α
⎫
⎪
⊂⇒
⎬
⎪
⊄⎭
∥
∥D．
a
b
b a
α
α
⎫
⇒⊥
⎬
⊥⎭
∥
3．如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，三条相交于点P的线段P A，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的
A．外心B．内心C．垂心D．重心
5．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=
A．B．2
C．D．1
6．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
7．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？问题中“刍甍”指的是底面为矩形的屋脊状的几何体，如图1，该几何体可由图2中的八边形沿，向上折起，使得与重合而成，设网格纸上每个小正方形的边长为1，则此“刍甍”中与平面所成角的正弦值为
A．B．
C．D．
8．如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D 重合于点F,此时二面角E-BC-F的余弦值为
（1）（2）
A．3
4
B．
7
C．2
3
D．
5
9．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.
其中命题正确的是__________．
10．如图,三棱锥,平面平面,若,则△的形状为__________.
11．在四面体中，平面，，，，，为棱上一点，且平面平面，则__________.
12．如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF
⊥BC，则PE
EC
________.
中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当13．如图所示，在四棱锥P ABCD
DM⊥________时，平面MBD⊥平面PCD.
14．四棱锥中，，且平面是棱的中点.
（1）证明:平面;
（2）求三棱锥的体积.。