i
注意： 记号pi•中的"•"是由pij关于j求和后得到的; 同样, p•j
是由pij关于i求和后得到的).
已知离散型随机向量（X，Y）
的分布律，求关于X 、Y 的边
缘分布律．
已知二维离散型随机向量（X，Y）的分布律
Y X
x1
x2
xi
y1
y2
y j
p11
p12
p 1 j
p 21
p22 p 2 j
p•2
p • j 1
例2 某校新选出的学生会 6 名成员, 文、理、工科各占1/6、
1/3、1/2，现从中随机指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分别为候选人中来自文、理科的人数.求(X, Y) 的联合分布律
和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2.
P (X1 ,Y0)C 1 1 C 1 3/C 6 23/1,5
P (X 1 ,Y 1 )C 1 1 C 1 2/C 6 22/1,5
P (X1,Y2)0.
故联合分布律与边缘分布律为
Y X
0 1
p• j
0
1
2
pi•
3/15 6/15 1/15
2/3
3/15 2/15
0
1/3
6/15 8/15 1/15
p i1
pi2
p ij
求关于X 、Y 的边缘分布律．
X、Y 的边缘概率分布可分别通过联合分布律表中按各 行与按各列相加而得到,见下表
XY
y1
x1
p11
x2
p 21
xi
p i1
p•j
p •1
y2
y j
p i•
p12
p1 j
p1•
p22
p2 j
p2•
p i 2
p ij
p i•
(3) 求P (X > 2).
解 (1) F (, ) A B 2 C 2 1 F (, ) A B 2 C 2 0 F (, ) A B 2 C 2 0
B2,C2,A12
(2) F X(x)F (x,)
1 21arc2 xt,anx.
F Y (y ) F (,y )
Y
Y
y
o
x
X
o
X
Ⅰ
Ⅱ
而联合分布函数 F(x,表y)示随机向量 (落X,在Y)这两个半平面 的公共部分的概率
Y
y
o
x
XX
例1 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F(x,y)ABarctxanCarctyan
2
2
x,y
其中A , B , C 为常数.
(1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数；
由乘法公式
P (X 0 ,Y 0 ) P (x 0 )P (Y 0 X 0 )
C52 C62
C32 C52
3/15,
或由古典概型
P (X0 ,Y0 )C 3 2/C 6 23/1,5
类似有
P (X0 ,Y1 )C 1 2C 1 3/C 6 26/1,5 P (X0,Y2)C 2 2/C 6 21/1;5
1 21arc2 yt,any.
(3) P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1121arct22an
1/ 4.
可以将二维 r.v.其边缘分布函数的概念推广到 n 维 r.v.其联合分布函数与边缘分布函数.
二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布
定义二维离散型随机向量(X，Y)的两个分量X与Y的分布律
1
一整数N等可能地在1,2,3,...,10十个值中取一个值. 例3 设D(N)是能整除N的正整数的个数, F=F(N)是能整除
N的素数的个数(注意1不是素数), 试写出D和F的联合 分布律.
解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况列表如下:
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D 1223 24 2 434 F 0111 12 1 112
样本点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?
第二节 边缘分布
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数 二、离散型随机向量（X，Y）的边缘分布 三、连续型随机向量（X，Y）的边缘概率密度
一、随机向量（X，Y）的边缘分布函数
若已知( X)的, Y分布函数为
的边缘X分布Y函数:
，F则(x,容y)易求得关于 、
FX(x)P{Xx}P{Xx,Y} lim F(x,y)F(x, )
y
FY(y)P{Yy}P{X, Yy} lim F(x,y)F(, y)
x
边缘分布函数 FX、(x) 分FY 别(y)表示随机向量( )落X入, Y下图 中的I、II 两个带阴影的半平面内的概率.
随机向量(X,Y)把两个随机变量X和Y作为一个整 体来研究，实际问题中有时需要研究随机向量(X,Y) 的分量X,Y的性质，为此，引入边缘分布.
定义二维随机向量(X,Y)关于两个分量X、Y 的分布函数分别
记为 、FX (x),分F别Y (称y)之为随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分
布函数.
二维随机向量(X,Y)关于X、Y 的边缘分布函数 、FX (x) FY (y可) 由的分布函数 F(来x,确y)定.
分别称为随机向量(X，Y)关于X 、Y 的边缘分布律．
设二维离散型随机向量( X),的Y 概率分布为：
P { X x i,Y y j} p i j( i ,1 , 2 j )
对于给定的 x (ii=1,2,…)，有
于是
X x i X x i, Y y j j
P X x i P ( X x i,Y y j) j
高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(四) —— 概率论与数理统计
第三章 随机向量及其分布
本章学习要求： 理解二维随机变量的定义。 理解二维随机变量的分布函数及其性质。 了解二多维离散型随机变量的分布律。 了解条件分布的概念。 掌握二维连续型随机变量的概率密度，边缘分布、 随机变量的独立性。 掌握随机向量函数的分布。
PXxi,Yyj
j
pij
j
i1,2,
Байду номын сангаас
同理可得,对于给定的 yj(j1,有2, ),
P Yyj p ij 1 j,2 ,
i
将PX和xi P分Y别y记j为 和 , 则p i •有 p • j
p i• P X x i p ij( i , , )
j
p • j P Y y j p ij( j , , )