选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1.设f（x)=ax3+bx2+cｘ+d(ａ>0),则f(x)为R上增函数的充要条件是（）A.ｂ2-4aｃ>0 ﻩＢ．b>0，c＞０C.b=0,c>0 ﻩﻩD．ｂ2-３ac<０[答案] D[解析］∵a>0，f(x）为增函数，∴ｆ′（ｘ)＝3ax2＋2bx+c>0恒成立，∴Δ＝(2ｂ）2－4×3a×ｃ=4b2-1２ａｃ<0,∴b2-3ａｃ＜0．2．(20０9·广东文,8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A.（－∞,2) ﻩB．(0，3)Ｃ.(1,4)ﻩﻩﻩＤ．(２，+∞)［答案]Ｄ［解析] 考查导数的简单应用.ｆ′(x）＝（x-３)′eｘ+（ｘ-3)(ｅx)′=(x-２)e x,令ｆ′（x)>0,解得x＞2，故选D.3.已知函数ｙ=f（ｘ)（x∈R）上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=(x2）(ｘ0+１)2,则该函数的单调递减区间为( )０－A.［－1,＋∞)ﻩﻩﻩB．（-∞，2]Ｃ．(-∞,-１)和(1,2)ﻩﻩD.［2，+∞)[答案］ B[解析] 令k≤0得ｘ0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞,2].4.已知函数ｙ=xf′(ｘ)的图象如图(１)所示(其中f′（x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(）[答案] Ｃ[解析]当０<x<1时ｘｆ′(x)<０∴ｆ′(x)<0,故y＝ｆ（x)在（0,1)上为减函数当x>1时xf′(x)>0,∴ｆ′(x)>０,故y＝f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数ｙ=xｓin x＋cos x，x∈（－π，π)的单调增区间是( )Ａ.错误!和错误!Ｂ．错误!和错误!C.错误!和错误!D.错误!和错误![答案] A[解析] y′＝x cos x,当－π<x<-错误!时，cosｘ<0，∴y′＝xｃos x>０,当0＜x＜＼f(π,２)时，coｓx>０，∴y′=x cos x>０.6．下列命题成立的是（）A．若f(x）在(a，b)内是增函数，则对任何ｘ∈(ａ,b),都有f′（x）>0 B．若在（ａ，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在（a,ｂ)上是增函数C．若f(x）在（a，ｂ)内是单调函数,则f′(x)必存在Ｄ．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(ｘ)必为单调函数[答案] B［解析]若f(x)在(a，b）内是增函数，则f′(ｘ)≥0,故A错；f(ｘ)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系,故Ｃ错;f（x）＝2在(a，b)上的导数为f′（x)＝0存在，但f（x)无单调性,故D错．7．(2０0７·福建理，11)已知对任意实数x,有f(－x)＝－f(x),g（－ｘ)=g(x)，且x>0时，ｆ′（x)>0,g′（x）>０,则ｘ＜0时（）A.f′(x)＞0，g′(x)>0B.f′（x）>0，ｇ′(ｘ)<0Ｃ.f′(x)<0，ｇ′(ｘ)>0ﻩ D.ｆ′(ｘ)<0,g′(ｘ)<0［答案] B[解析］f（x)为奇函数，g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同（反)，∴x<0时，f′(x)>0,g′（x）＜0.8．f(x)是定义在（0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(ｘ)+f（x)≤０，对任意正数a、b，若a<b,则必有( )Ａ．aｆ(a)≤f(b) ﻩB．bｆ(b）≤f(a)Ｃ．ａｆ(b)≤bｆ（a) ﻩﻩD．bf(ａ）≤af(b)［答案] C［解析］∵xf′(ｘ)＋ｆ(x）≤0，且x>0,f(x)≥0,∴f′(x)≤-错误!，即f（x)在(0，＋∞)上是减函数，又0<ａ<b，∴ａf（b)≤bf(a）．9.对于R上可导的任意函数ｆ(x)，若满足（ｘ-1）ｆ′(ｘ)≥0，则必有( )A.ｆ(0)+f(2)<2f(1)ﻩB.ｆ(0)+f(2)≤2f(１)C．f(0）+f(2)≥2f(１)ﻩD．f(0)＋f(2）>２ｆ(1)[答案］ C[解析] 由(x－1）f′（x)≥0得ｆ(ｘ）在[１,+∞)上单调递增,在（－∞，１]上单调递减或ｆ（x）恒为常数，故f（0)＋f(2)≥2f（1).故应选C.10.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S （t)(S(0)＝0）,则导函数y=S′(ｔ)的图像大致为( ）[答案] Ａ[解析］ 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题1１．已知ｙ＝＼f(1，３）x 3+b ｘ2+(ｂ+2）x ＋3在R 上不是单调增函数,则b 的范围为__＿_＿_＿_.［答案］ b ＜-１或b >２[解析］ 若y ′=ｘ2＋2bx ＋b ＋2≥０恒成立,则Δ=4b ２-４(ｂ+2）≤０,∴－１≤b ≤2，由题意b ＜-1或ｂ>2.12．已知函数f (x )＝ax －l ｎx ，若ｆ(x ）＞1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为＿＿__＿＿_＿.[答案] ａ≥1[解析］ 由已知a >＼f(１+ｌn ｘ,ｘ)在区间（1,＋∞)内恒成立． 设ｇ(x ）=错误!,则ｇ′(x )=－错误!<0 (x >1)，∴g （ｘ)=1＋l ｎx ｘ在区间(１,＋∞)内单调递减， ∴g （x )＜ｇ(1），∵g (1)=１,∴＼f （１＋ｌｎx,x ）<1在区间(1,＋∞)内恒成立，∴ａ≥1.１3.函数y＝ln(x２－x-２)的单调递减区间为＿_＿__＿____.[答案](－∞，－1）[解析] 函数y=ln(ｘ2－ｘ－2）的定义域为(2,＋∞）∪（－∞,－1)，令f（x)=x2－x-2，f′(x)＝2x-1＜0，得x<错误!，∴函数y＝ln(x２－x－２)的单调减区间为(-∞,-1)．14.若函数y=x3－ax2+４在（０,2)内单调递减，则实数a的取值范围是＿＿＿＿_＿_____＿.[答案］[３,＋∞)[解析] y′=3x2-２aｘ，由题意知３x2-2ａx<0在区间(0,2)内恒成立，ｘ在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.即a>32三、解答题15.设函数ｆ(x)=ｘ3－３ax２+3bx的图象与直线12ｘ+y－1＝0相切于点(1，-11）.（１)求a、ｂ的值;(2）讨论函数f(ｘ)的单调性．[解析] （1）求导得f′(x)=3ｘ2-6ax＋3b．由于f(x)的图象与直线12x＋y-1＝0相切于点（1,-１１）,所以f(1)=-1１,f′(1)=-12,即错误!，解得a ＝1，b ＝-3.（２)由a ＝1，b ＝-3得f ′(x ）＝３ｘ2－６ax ＋3b ＝３(x 2-2x -3）=３(x ＋１）(x －3)．令f ′(x ）>0,解得x <-１或x ＞3;又令f ′(x )<0,解得－1<x <３. 所以当x ∈(-∞，－１)时，f (ｘ)是增函数；当ｘ∈(３，+∞)时,f (x )也是增函数;当x ∈(－1,３)时，ｆ(ｘ）是减函数.１6.求证：方程x -错误!s ｉn ｘ＝0只有一个根ｘ=０．[证明] 设f (x )=x －１2ｓｉｎｘ,x ∈(-∞,+∞),则ｆ′(ｘ)＝１-＼ｆ(1,2)cos x ＞0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，ｆ(x ）=０，∴方程x -1２sin x =0有唯一的根x ＝０． 17.已知函数y ＝ax 与y ＝-b x 在(0,＋∞)上都是减函数,试确定函数y =ax 3＋bx 2+5的单调区间．[分析] 可先由函数ｙ=ax 与ｙ＝－b x 的单调性确定ａ、b 的取值范围,再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝a ｘ3＋bx 2＋５的单调区间.［解析] ∵函数y=aｘ与y=-错误!在(0，+∞)上都是减函数，∴a ＜0，b<0.由y＝ａx３＋ｂx2＋５得y′＝３ax2+２bx．令ｙ′>０，得3ax2+2bx>0，∴－错误!＜ｘ＜0.∴当x∈错误!时,函数为增函数.令ｙ′<0,即3ax2+２bx＜0,∴x<－＼f(2b,3a),或x＞０.∴在错误!,(0,+∞)上时,函数为减函数．18．(2010·新课标全国文,21)设函数f(x)＝x（e x－1）－ａx２.(1）若a=错误!，求f（x)的单调区间；(２）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．[解析］(1）a＝＼f(1,２)时,f（x)＝x(e x－1）－＼f(１,2)x2,f′(x）＝eｘ－１＋xe x-x=(e x-1)(x＋1)．当x∈(-∞，-1)时,ｆ′(x)＞0;当x∈(-1,0)时,f′（x)<0；当x∈（0,+∞)时，f′(ｘ)>0．故f(x）在(-∞，－1],[0，+∞)上单调递增，在[－１,０]上单调递减．（2)ｆ(x)＝x(e x－１－ax）．令g(x)=e x－1－ａx,则ｇ′(x)＝e x-a．若ａ≤1,则当x∈(0,+∞)时，g′(x）>0，g(ｘ)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时ｇ（ｘ)≥0，即f(x)≥０.当ａ>1,则当x∈(0，lｎa)时，g′（x)<0，ｇ(x)为减函数，而g(0）=0,从而当x∈(0，ln a)时g（ｘ）＜0,即f（x)<0．综合得a的取值范围为(-∞,1]．。