五、不等式（命题人：仲元中学 邹传庆）1（人教A 版82页例1）已知0,0<>>c b a ，求证：bc a c >. 变式1：（1）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）A.11a b< B C.22a b < D.||||a b > 解：选A设计意图：不等式基本性质的熟练应用变式2：设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ）A .a +c >b +dB .a －c >b －dC .ac >bd D.cb d a > 解：选A设计意图：不等式基本性质的熟练应用2（人教A 版89页习题3.2A 组第3题）若关于x 的一元二次方程0)1(2=-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 变式1：解关于x 的不等式()[]()(0113R m x x m ∈>+-+ 解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=3-时，原不等式为 –(x+1)>0，∴不等式的解为1-<x②当3->m 时，原不等式可化为()131>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x m x 1031->>+m Θ，∴不等式的解为1-<x 或31+>m x ③当3-<m 时，原不等式可化为0)1(31<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x m x 34131++=++m m m Θ， 当34-<<-m 时，131-<+m 原不等式的解集为131-<<+x m ； 当4-<m 时，131->+m 原不等式的解集为311+<<-m x ； 当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解综上述，原不等式的解集情况为：①当4-<m 时，解为311+<<-m x ； ②当4-=m 时，无解； ③当34-<<-m 时，解为131-<<+x m ； ④当m=3-时，解为1-<x ；⑤当3->m 时，解为1-<x 或31+>m x 设计意图：含参数的不等式的解法.变式2：设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围？ 解：（1）M ⊆［1，4］有两种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围。

设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－4(a +2)=4(a 2－a －2)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅⊆［1，4］；当Δ=0时，a =－1或2；当a =－1时M ={－1}⊄［1，4］；当a =2时，m ={2}⊆［1，4］。

当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2。

设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得2＜a ＜718， ∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). 设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用.3（人教A 版103页练习1（1）） 求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y .变式1：设动点坐标（x ，y ）满足（x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3，则x 2+y 2的最小值为( )C 217 D 10 解：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10 选D设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.4.(人教A 版105习题3.3A 组第2题)画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≤-+-0330402y x y x y x 表示的平面区域.变式1：点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是______ 解：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32 答案：t ＞32 设计意图：熟悉判断不等式所代表的区域的方法.变式2：求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为 114x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩或112x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩或112x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≤⎩或110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩ 其平面区域如图∴面积S =21×4×4=8 设计意图：不同形式的可行域的作图.5.(人教A 版113页习题3.4A 组第1题)（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？变式1：函数y =2m ＋112+m 的值域为 解：y =2m ＋112+m = (2m ＋1)＋112+m －1≥2-1=1 ，所以值域为[1, +∞) 设计意图：均值不等式的灵活应用.变式2：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,则21x y +的最大值为＿＿ 解法一: ∵x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1 ∴21x y +=22(1)x y +=22122y x +≤222122y x ++=2221222y x ++=423 当且仅当x=23,y=22(即x 2= 212y +)时, 取得最大值423 解法二:令cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(0≤θ≤2π)则θθ2sin 21+=21)sin 21(cos 222⋅+θθ=423 当θ2cos 2=θ2sin 21+,即θ=6π时,x=23,y=22时，设计意图：均值不等式的灵活应用.6．(人教A 版115复习参考题A 组第2题)已知集合}06|{2<--=x x x A ，}082|{2<-+=x x x B ，求B A ⋂.变式1：已知A ={x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ={x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值解：A ={x |－2＜x ＜－1或x ＞0}，设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =（0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0， ①由A ∪B =（－2，+∞）知－2≤x 1≤－1 ②由①②知x 1＝－1，x 2＝2，∴a ＝－（x 1＋x 2）＝－1，b ＝x 1x 2＝－2设计意图：一元二次不等式与集合的运算综合。

变式2：解关于x 的不等式()[]()(0113R m x x m ∈>+-+ 解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=3-时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为1-<x②当3->m 时，原不等式可化为()131>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x m x1031->>+m Θ，∴不等式的解为1-<x 或31+>m x ③当3-<m 时，原不等式可化为0)1(31<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x m x 34131++=++m m m Θ， 当34-<<-m 时，131-<+m 原不等式的解集为131-<<+x m ； 当4-<m 时，131->+m 原不等式的解集为311+<<-m x ； 当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解 综上述，原不等式的解集情况为：①当4-<m 时，解为311+<<-m x ； ②当4-=m 时，无解； ③当34-<<-m 时，解为131-<<+x m ； ④当m=3-时，解为1-<x ；⑤当3->m 时，解为1-<x 或31+>m x 设计意图：含参数的一元二次不等式的解法。

7. (人教A 版115复习参考题B 组第1题)求证：ca bc ab c b a ++≥++222变式1：己知c b a ,,都是正数，且c b a ,,成等比数列，求证：.)(2222c b a c b a +->++证明：)(2)(2222ac bc ab c b a c b a -+=+--++ Θ c b a ,,成等比数列，ac b =∴2 c b a ,,Θ都是正数，a c a ac b +<+≤=<∴20 ,b c a >+∴ 0)(2)(2)(22>-+=-+=-+∴b c a b b bc ab ac bc ab.)(2222c b a c b a +->++∴设计意图：基本不等式的灵活应用。

变式2：若0101<<<<a b ,,，求证ab 与 ()()11--a b 14 证明：假设ab , (1－a ) (1－b )都大于14 111(1)(1)0(1),0(1)1644ab a b a a b b --><-≤<-≤则又 21,01(1)(1)161(1)(1)161,(1)(1)4y x x x ab a b ab a b ab a b =-+<<--≤-->--通过的值域有这与矛盾因此，不可能都大于设计意图：基本不等式与累乘、反证法综合应用。

8. (人教A 版116复习参考题B 组第7题)要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m 。

现有制盒材料60m 2,当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？变式1：今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的结论 解:不对设左、右臂长分别是12,l l ,物体放在左、右托盘称得重量分别为,a b 真实重量为为G ，则由杠杆平衡原理有：12l G l a ⋅=⋅，21l G l b ⋅=⋅①×②得G 2=ab , ∴G=ab由于12l l ≠，故a b ≠ ,由平均值不等式2b a + > ab 知说法不对 设计意图：基本不等式的应用。