高中数学教材变式题汇总：数列一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第23页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、（湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式； 解：（1）：当;2,111===S a n 时,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=， 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、（山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第19页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.3、待定系数求通项：（人教版第38页习题4）写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+>变式题1、（福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+= 即*21().n n a n N =-∈4、由前几项猜想通项：（北师大版第10页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式. （1）（4）（7）（ ）（ ）变式题1、（深圳理科一模）．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ， 则6a= ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝ .解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-=变式题2、（北师大版第11页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B. 二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第35页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．632条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。

解：若数列{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --等差数列，可得：48，12，3nS -60成等差数列，所以3n S =36.变式题2、（江苏版第76页习题1）等比数列{}n a 的各项为正数，且5647313231018,log log log a a a a a a a +=+++=则（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 5解：因为564718,a a a a +=所以56471101102189a a a a a a a a +==⇒=，而3132log log a a ++5310312103110log log ()log ()10a a a a a a +===，所以选B.点评：高考题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能力，灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度. 因此对相关知识的性质要深刻地理解和掌握并能灵活运用.2、（北师大版第21页习题4）设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1 B.2 C.4 D.8变式题1、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（ ）（A ）33 （B ）72（C ）84（D ）189 分析：本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为1a 和q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解.解法一：设公比为q ，由题知，12111321a a a q a q =⎧⎨++=⎩得2q =或30q =-（舍去)，∴34584a a a ++=，故选C.解法二：由11233,21a a a a =++=得，2q =(30q =-舍去)，2345123()84a a a q a a a ++=++=.三、数列求和问题1、（北师大版第23页习题4）已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。

（1）求数列}{n a 的通项公式，并作出它的图像；（2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．变式题1、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值． 解：110105610()5()02a a S a a +==+=，所以560,0a a ><，即数列}{n a 前5项和为最大值．变式题2、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值． 解法一：由179S S =，得：1792517(171)259(91)22d d ⨯+-=⨯+-，解得2d =-． 225(1)(2)(13)1692n nS n n n ∴=+--=--+．由二次函数的性质，当13n =时，n S 有最大值169．解法二：先求出2d =-，1250a =>，由1113252(1)0225201122n n n a n a n n +⎧≤⎪=--≥⎧⎪⇒⎨⎨=-≤⎩⎪≥⎪⎩，所以当13n =时，n S 有最大值169． 解法三：由179S S =，得1011170a a a +++=，而101711161215a a a a a a +=+=+1314a a =+，故1314a a +＝0．1131420,0,0,0,d a a a =-<>∴><故当13n =时，n S 有最大值169．点评：解决等差数列前n 项和最值问题的方法通常有：①、利用二次函数求最值；②、利用通项公式n a 求n 使得10n n a a +⋅≤；③利用性质求出符号改变项．2、（江苏版第58页习题6）求和：21123n n S x x nx -=++++变式题1、已知数列42n a n =-和124n n b -=，设n n nb ac =，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 解：1142(21)424n n nnn a n c n b ---===-，1211223113454(21)4,4143454(23)4(21)4n n n n nn T c c c n T n n --∴=+++=+⨯+⨯++-=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T变式题2、（全国1文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，， 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．点评：错位相减法适用于通项公式形容{}n n b a 的数列，其中{n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列．变式题2．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q的值为.分析：本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得.解：1(1)1n n a q S q -=-，122n n n S S S ++=+，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---，220q q ∴+-=，2q ∴=-.，若1q =，则1222(1)(2)23n n n S n S S n n n ++=≠+=+++=+。