东北三省三校2019年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码 区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． １．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,AB ≠∅则b 等于（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 1或2 ２．复数212ii+=-（ ）Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．2(2)i + Ｄ．1i +３． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．向量a,b 满足1,2,()(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45︒ Ｂ． 60︒ Ｃ． 90︒ Ｄ． 120︒５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）Ａ．14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ．63 Ｂ． 263 Ｃ．362 Ｄ． 62７．椭圆2214x y +=两个焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆上 任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）Ａ． []1,4 Ｂ． []1,3 Ｃ． []2,1- Ｄ． []1,1-８．半径为１的球面上有四个点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A ．36 Ｂ．33Ｃ．3 Ｄ．6 ９． 已知数列{}n a 满足*312ln ln ln ln 32()258312n a a a a n n N n +⋅⋅⋅⋅=∈-，则 10a =（ ）Ａ．26e Ｂ． 29e Ｃ．32e Ｄ．35e10．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 的值小于１，则输入的t 值不能是下面的（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．(),2-∞ Ｂ．(],2-∞ Ｃ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ Ｄ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．函数()lg(1)sin2f x x x =+-的零点个数为（ ）Ａ．９ Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12开始结束输入t=S1=k3sinπk S S += t k >1+=k k输出S否是（第10题图）（第６题图）22２ ２２正视图侧视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．） 13．若等差数列{}n a 中，满足46201020128a a a a +++=，则2015S =_________．14．若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 ．15．已知双曲线C ：221164y x -=，点P 与双曲线C 的焦点不重合．若点Ｐ关于双曲线Ｃ的上、下焦点的对称点分别为A 、B ，点Q 在双曲线C 的上支上，点P 关于点Q 的对称点为1P ，则11PA PB -=____． 16．若函数()f x 满足: （ⅰ）函数()f x 的定义域是R ； （ⅱ）对任意12,x x ∈R 有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=；（ⅲ）3(1)2f =. 则下列命题中正确的是_____. （写出所有正确命题的序号）①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 是偶函数；③对任意12,n n ∈N ，若12n n <，则12()()f n f n <；④ 对任意x R ∈，有()1f x ≥-.三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为,2且满足04,AB AC →→<⋅≤设→AB 和→AC 的夹角为θ． （Ⅰ）求θ的取值范围； （Ⅱ）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的值域．18．（本题满分12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量0.0010.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008频率 组距空气污染指数 （3/g m μ）50100 150 200DCBAFE级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2019年１月某日某省x 个监测点数据统计如下：空气污染指数 (单位：3/g m μ) []0,50(]50,100(]100,150(]150,200监测点个数1540y10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图； （Ⅱ）若A 市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，２个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形， 60BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证: //CF 平面AED ；(Ⅱ)若2AE =，求多面体ABCDEF 的体积V .20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动圆过点(2,0)，且被y 轴所截得的弦长为4. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 过点(1,2)P 分别作斜率为12,k k 的两条直线12,l l ，交1C 于,A B 两点(点,A B 异于点P ),若120k k +=，且直线AB 与圆2:C 221(2)2x y -+=相切，求△PAB 的面积.21．（本题满分12分）已知实数a 为常数，函数2ln )(ax x x x f +=．（Ⅰ）若曲线)(x f y =在1=x 处的切线过点Ａ)2,0(-，求实数a 值； （Ⅱ）若函数)(x f y =有两个极值点1212,()x x x x <．①求证：021<<-a ；②求证： 1()0f x <，21)(2->x f ． 请从下面所给的22 , 23 , 24三题中任选一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

请考生在第22 , 23 , 24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号．22．（本题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，在ABC ∆中，90=∠ABC ，以AB 为直径的圆O交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M .（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）求证：AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅.23．（本题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.24．（本题满分10分）选修4-5: 不等式选讲设函数|2||12|)(+--=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(>x f ；（Ⅱ）若R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，求实数m 的取值范围.CD M OB EA东北三省三校2019年三校第一次联合模拟考试文科数学试题参考答案一、选择题 二．填空题13． 4030 14．－6 15．－16 16． ②③④ 三.解答题 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， ……4分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． ……6分 （Ⅱ）2π()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 23cos 22θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)3cos 2θθ=+-πsin 23cos 212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ……8分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的值域是]3,2[ ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）1001550003.0=∴=⨯x x35100104015=∴=+++y y……2分008.05010040=⨯007.05010035=⨯002.05010010=⨯1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DACCBBCACADDDCBAFE (5)分（Ⅱ）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1,2,3, 空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分其中事件A “其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A “其中至少有一个为良”发生的概率是107)(=A P . ……12分19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明： ABCD 是菱形，//BC AD ∴.又⊄BC 平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE .……2分又BDEF 是正方形，//BF DE ∴.BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE . ……4分BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC BF B =， ∴平面BCF //平面AED .由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED . ……6分 (Ⅱ)解：连接AC ，记AC BD O =.ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且BO AO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高. (9)0.0010.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 频率 组距空气污染指数 （3/g m μ）50100150 200由ABCD 是菱形，60BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由2AE =，则1A D D E ==，32AO =，1BDEF S =，1336BDEF BDEF V S AO =⋅=， 323BDEF V V ==. (12)分20．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 设动圆圆心坐标为(,)x y ，半径为r ，由题可知2222222(2)42x y r y x x r⎧-+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩； ∴动圆圆心的轨迹方程为24y x = ……4分(Ⅱ) 设直线1l 斜率为k ,则12:2(1);:2(1).l y k x l y k x -=--=--点P （1,2）在抛物线24y x =上22448402(1)y xky y k y k x ⎧=∴⇒-+-=⎨-=-⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ,0>∆恒成立，即(),012>-k 有1≠k118442,2,,P P kky y y y kk--∴==∴=代入直线方程可得212(2)k x k-= ……6分同理可得 2222(2)42,k kx y k k++==- ……7分 212221242421(2)(2)ABk ky y k k k k k x x k +----===-+--- ……9分 不妨设:AB l y x b =-+. 因为直线AB 与圆C 相切，所以|2|2,22b -=解得3b =或1, 当3b =时, 直线AB 过点P ,舍 当1b =时, 由2216104y x x x y x=-+⎧⇒-+=⎨=⎩；32,||11328AB ∆==+⋅=P 到直线AB 的距离为2d =，△PAB 的面积为42. (12)分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知:/()ln 12(0)f x x axx =++> ,切点(1,)P a ……1分切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = ……3分 （Ⅱ）①证明：依题意:/()0f x = 有两个不等实根1212,()x x x x <设()ln 21g x x ax =++ 则:/1()2(0)g x a x x=+> (ⅰ)当0a ≥ 时: /()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; ……5分 (ⅱ)当0a < 时:由/()0g x =得:102x a =-> 列表如下:x1(0,)2a-12a- 1(,)2a -+∞ /()g x+0 -()g x↗极大值↘max )(x g =11()ln()022g a a -=-> ,解得:102a -<< ……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当0>x 且0→x 时-∞→x ln ，112→+ax ，∴当0>x 且0→x 时-∞→)(x g )(x g ∴在1(0,)2a-上必有一个零点． 当a x 21->时，设x x x h -=ln )(，xx x x x h 22211)(/-=-= x()4,04()+∞,4)(/x h＋ ０ － )(x h↗极大值↘4>∴x 时，024ln )4()(<-=<h x h 即x x <ln4>∴x 时，1221ln )(++<++=ax x ax x x g设x t =，12122++=++t at ax x 由0a <，+∞→x 时，0122<++t at0)(<∴x g )(x g ∴在1(,)2a-+∞上有一个零点 综上，函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．方法二2ln )(ax x x x f +=有两个极值点,即/()ln 12(0)f x x ax x =++>有两个零点,即xx a 1ln 2+=-有两不同实根. 设x x x h 1ln )(+=,2/ln )(x xx h -=,当0)(/>x h 时，10<<x ；当0)(/<x h 时，1>xx()1,01()+∞,1)(/x h＋ ０ － )(x h↗极大值↘当1=x 时)(x h 有极大值也是最大值为1)1(=f 12<-∴a ，21->a 0)1(=eh ，故)(x h 在()1,0有一个零点当1>x 时，01ln 0ln >+∴>x x x 且011ln lim lim ==++∞→+∞→xx x x x 1>∴x 时1)1()(0=<<h x h0,02<∴>-∴a a综上函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．② 证明： 由①知:/(),()f x f x 变化如下:x1(0,)x1x12(,)x x 2x2(,)x +∞/()f x - 0+-()f x↘ 极小值 ↗ 极大值↘由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,又/(1)(1)210f g a ==+> ,故211x x << ……10分所以：21)1()(,)1()(21->=><=<a f x f a f x f即1()0f x <，21)(2->x f ． ……12分22.选修4-1: 几何证明选讲证明：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 21//=，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠.……2分在EOD ∆和BOD ∆中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，∴EOD ∆≌BOD ∆， ……4分 ∴90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. ……5分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. ……7分 ∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ ……10分 23.选修4-4: 坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . ……2分FCD MOB EA由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，∴直线l 的普通方程为03=--m y x . ……5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， ……7分 又直线l 过点)0,(m P ，由上式及t 的几何意义得1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1或21+或21-. 10 分24.选修4-5: 不等式选讲解：（Ⅰ）当2-<x 时，3221|2||12|)(+-=++-=+--=x x x x x x f ，0)(>x f ，即03>+-x ，解得3<x ，又2-<x ，∴2-<x ；当212≤≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-<x ，又212≤≤-x ，∴312-<≤-x ；当21>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ，0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又21>x ，∴3>x . (3)分综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- . ……5分（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f . (7)分∵R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，∴25)(24min 2-=>-x f m m ， 整理得：05842<--m m ，解得：2521<<-m ， 因此m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-25,21. ……10分。