概率论与数理统计复习题九、最大似然估计例：设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1()(x x x f θθ其中未知参数θ1->，n X X X ,,21是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求θ的估计量。

解：设似然函数),,2,1;10()1()(1n i x x L i ni i =<<+=∏=θθθ 对此式取对数，即：∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ且∑=++=ni i x nd L d 1ln 1ln θθ令,0ln =θd L d 可得∑=--=ni ixn1ln 1ˆθ，此即θ的极大似然估计量。

例：设总体X 的概率密度为)0,0(,0,00,)(1>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--a x x e ax x f ax a λλλ据来自总体X 的简单随机样本),,,(21n X X X ，求未知参数λ的最大似然估计量。

（同步39页三、3）解：由⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--0,00,)(~1x x e ax x f X ax a λλ得总体X 的样本),,,(21n X X X 的似然函数 ∑∑∑=-=-=--==ni a i n i ai nx ni a in x x a eaxx x x L ai 1111121]exp[)(),,,,(λλλλλ再取对数得：∑∑==-+-=ni i ni a ix a xa n L 11)ln()1()ln(ln λλ再求L ln 对λ的导数：∑=-=n i ai x a an d L d 1ln λλ令0ln 1=-=∑=n i ai x a an d L d λλ，得∑==ni a ixn1λ所以未知参数λ的最大似然估计量为∑=ni a ixn1。

练习：设总体X 的密度函数为)0(010),(1⎩⎨⎧><<=-ααααothersx x x fX 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的一组样本，求参数α的最大似然估计（同步52页三、5）十、区间估计总体X 服从正态分布N (μ,σ2), X 1,X 2,…,X n 为X 的一个样本 1：σ2已知,求μ的置信度为1-α置信区间2：σ2未知,求μ的置信度为1-α置信区间3：求σ2置信度为1-α的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下：43.18,67.1622==s x 。

求该校女生平均身高的95％的置信区间。

解： )1(~--=n t nSu X T ,由样本数据得05.0,43.18,67.162,102====αs x n查表得：t 0.05(?)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为(X u X u αα-+))1(,)1((nS n t X n S n t X -+--αα)S )1n (,S )1n (()1n (2122)1n (222-----ααχχ)74.165,60.159())9(,)9((05.005.0=+-ns t x ns t x例：从总体X 服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S 2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0.95的置信区间。

解：因为)1(~)1(222--n S n χσ,所以2σ的95%的置信区间为:))1()1(,)1()1((2122222-----n S n n S n ααχχ, 其中S 2＝0.07, 70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222==-==--χχχχααn n ,所以))1()1(,)1()1((2122222-----n S n n S n ααχχ=)70.207.09,023.1907.09(⨯⨯=（0.033,0.233）例：已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469.(1)求平均抗压强度μ的点估计值;(2)求平均抗压强度μ的95%的置信区间;(3)若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间; (4)求2σ的点估计值;(5)求2σ的95%的置信区间;解: (1)5.457ˆ==X u0 (2)因为~(1)X T t n =-, 故参数μ的置信度为0.95的置信区间是: )}1(),1({-+--n t nS X n t nS X αα, 经计算457.50x =,s = 35.276, n =10,查自由度为9的分位数表得, 0.05(9) 2.262t =,故{(1),(1)}X n X n αα--=}262.21022.3550.457,262.21022.3550.457{⨯+⨯-={432.30, 482.70}(3) 若已知σ=30, 则平均抗压强度μ的95%的置信区间为:22{,}X u X u αα=}96.1103050.457,96.1103050.457{⨯+⨯-={438.90,476.09}(4) 2ˆσ=S 2=1 240.28 (5) 因为)1(~)1(222--n S n χσ,所以2σ的95%的置信区间为:})1()1(,)1()1({2122222-----n S n n S n ααχχ,其中S 2=1 240.28,70.2)9()1(,023.19)9()1(2975.0212025.0222==-==--χχχχααn n ,所以})1()1(,)1()1({2122222-----n S n n S n ααχχ=}70.228.24019,023.1928.24019{⨯⨯={586.79,4134.27}十一、假设检验 1． 已知方差σ2,关于期望μ的假设检验2． 未知方差σ2,关于期望μ的假设检验3．未知期望μ,关于方差σ2的假设检验例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数445.4=x，样本方差S 2＝0.0169。

若总体方差没有变化，即σ2＝0.121，问总)()1,0(~/000为已知σσμN nX U -=)1(~/0--=n t nS X T μ)1(~)1(22022--=n S n χσχ体均值μ有无显著变化？（α＝0.05）（同步50页四、1） 解：原假设H 0：μ＝4.55 统计量9/11.055.4-=x U ，当H 0成立时，U 服从N （0，1）对于α＝0.05，U 0.025=1.9696.186.29/11.055.4445.4>=-=U故拒绝原假设，即认为总体均值μ有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。

若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得146.0=x厘米，S=0.016厘米。

问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（α＝0.05） （同步52页四、2）【 不一样 】例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度X kg/cm 2服从正态分布)40,(2μN . 从中选取一个容量为9的样本, 得780=X kg/cm 2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm 2 (05.0=α).解： H 0：u =800. 采用统计量U =nu X σ-其中σ=40, u 0=800, n =9,05.0=α，查标准正态分布表得2αU =1.96 |U |=5.1|940800780|=-,| U |<2αU , 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm 2.练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。

现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算：5.160)(,5.2872101=-=∑=i iX XX 。

假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0.1） （同步46页四、2）【是】十二、证明题： 例：总体)2,(~θθU X , 其中0>θ是未知参数, 又n X X X ,,,21 为取自该总体的样本,X 为样本均值. 证明: X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计. （同步39页四、2） 证明: 因为23323232ˆθθ===EX X E E =θ, 故X 2ˆ=θ是参数θ的无偏估计.例：设θˆ是参数θ的无偏估计量,0)ˆ(>θD , 证明: 2ˆθ不是2θ的无偏估计量. 证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，所以θθ=)ˆ(E ，=)ˆ(θD =-22)ˆ()ˆ(θθE E 0)ˆ(22>-θθE , 即22)ˆ(θθ>E , 故 2ˆθ不是2θ的无偏估计量. （同步39页四、3）其它证明题见同步练习46页五、50页五、十三、其它题目例：设随机变量X 在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X 进行的三次独立观测中，至少有两次的观测值大于3的概率。

解：P(X ＞3)=⎰5331d x = 32, 则所求概率即为2720323132323223=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C九、（12分）已知某种白炽灯泡的寿命服从正态分布。

在一批该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为：999.17 993.05 1001.84 1005.36 989.8 1000.891003.741000.231001.261003.19试求未知参数μ，2σ及σ的置信度为0.95的置信区间。

(262.2)9(025.0=t ,023.19)9(2025.0=χ,7.2)9(2975.0=χ)解：（1）未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为：[]0.025(1)999.853 2.262999.853 3.4678x n ⎡⎤⎡⎤-==±⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=[]996.3852,1003.321（2）未知参数2σ的置信度为0.95的置信区间：[]22220.0250.975(1)(1)211.5268211.5268,,11.1195,78.343319.023 2.7n s n s χχ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（3）未知参数σ的置信度为0.95的置信区间：[]3.3346,8.8512==六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。

从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。

(满分10分)解：已知样本均值1950x =, 样本标准差s =300, 自由度为15-1=14, 查t 分布表得t 0.025(14)=2.1448,算出0.025 2.1448300166.13.873t ⨯==, 因此平均使用寿命的置信区间为166.1x ±，即(1784, 2116)。