2019-2020学年九年级数学上册培优 新人教版
1．已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结
论：①a ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③－ b
2a ＞0．其中正确的结论有( )
A ．只有①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
2.如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第
二次输出的结果为12，…，则第2011次输出的结果为 。

3.如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的是 。

①BDF ∆是等腰三角形 ②BC DE 2
1
=
③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠
4.如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有
正三角形都关于PQ 对称，其中第一个111C B A △的顶点1A 与点P 重合，第二个222C B A △的顶点2A 是11C B 与PQ 的交点，…，最后一个n n n C B A △的顶点n B 、n C 在圆上．求正三角形的边长1a = , 2a = , n a = .
(2题)
5.类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1
个单位．用实数加法表示为 3+（2-）=1． 若坐标平面上的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，
平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，
d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．
解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}．
（2）①动点P 从坐标原点O 出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A ，再按照“平移量”
{1，2}平移到B ；若先把动点P 按照“平移量”{1，2}平移到C ，再按照“平移量” {3，1}平移，最后的位置还是点B 吗? 在图1中画出四边形OABC . ②证明四边形OABC 是平行四边形.
（3）如图2，一艘船从码头O 出发，先航行到湖心岛码头P （2，3），再从码头P 航行到码头Q （5，2），最后回到出发点O . 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
6.如图，已知抛物线42
12
++-
=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；
（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为
（第5题）
图1
对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．
培优8答案
1.D
2. 6
3. ①②④
4.3 133
8 1
3342+n n 5.（1）{3，1}+{1，2}={4，3}． ——1分
{1，2}+{3，1}={4，3}． ——1分 （2）①画图 ——2分 最后的位置仍是B ．——1分
② 证明：由①知，A （3，1），B(4，3)，C （1，2） ∴OC=AB =2221+=5，OA=BC =2213+=10， ∴四边形OABC 是平行四边形． ——3分 （3） {2，3}+{3，-1}+{-5，-2}={0, 0}． ——2分
所以直线AB 的解析式为4+-=x y ． ——2分 （2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ，
当点)2
,2(x
x Q 在直线AB 上时，422+-=x x ，解得4=x ．
O
A
B
P E
Q
F
x
y （第6题）
所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ． ——2分 （3）当点)2
,(x
x E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上）
42
+-=x x ，解得38
=x ． ——1分
①当3
8
2<
≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ， 此时，42)4(-=+--=x x x PC ，
又PC PD =， 所以22)2(22
1
-==
∆x PC S PCD ， 从而，22)2(241
--=x x S
884
72
-+-
=x x 7
8)716(472+--=x ．
因为387162<≤
，所以当716
=x 时，7
8max =S ． ——2分 ②当43
8
≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ，
此时，42)42(+-=-+-=x x
x QN ，
又QN QM =， 所以22)4(2
1
21-==
∆x QN S QMN ， 即2)4(2
1
-=x S ．
其中当38=
x 时，9
8
max =S ． ——2分 综合①②得，当7
16
=x 时，78max =S ． ——1分
O
A
B
x
y （第6题 备用）
P
E
Q
F
M N
O
A
B
P
E
Q F
x
y （第6题）
C
D。