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高等数学6章常微分方程

设 y uxe Pxdx

y
u x e
P x dx
uP x e
P x dx
代入(1)中有:
uxeP xd xuxP xeP xdxPxuxePxdx Qx
Qxuxe
Pxdx
,即:u
x
Q x e
P xdx
ux
Qxe
Pxdx
d
xC,从而,
y uxe Pxdx
e
P xdx
Q x e
可化为
y x
的函数
y x
,即:
f
x,
y
y x
,称
该方程为齐次方程.
如: x y y 2 d x x 2 2 x d y 0 y
可化为:dy
dx
xy y 2 x2 2xy
y x
y x
1 2
2
y x
由齐次方程的形式:dy
dx
y x
得其解法为:
对于
dy dx
y x
,令 u
当 y 0 时,原方程有解: y 0 当 p 0 ,即 y 0 时,原方程有解: y C
显 然 此 二 解 是 (*) 式 分 别 当 C2 0 和 C2 C,C1 0 时的特殊情形.

d2x dt 2
,
x
代入方程
d2x dt 2
k
2
x
0
得:
k2C 1co k ts C 2sikn tk 2 C 1co k s tC 2sikn t 0
即:x
C1
cos kt
C2
sin
kt

d2x dt 2
k
2
x
0
的解.
将条件 x t0 A 代入 x C1 cos kt C2 sin kt 得:
y2 y y 0 为二阶.
定义3 未知函数是一元函数的微分方程为常微分
方程,为多元函数的微分方程为偏微分方程(数学物 理方程).
定义4 使微分方程成为恒等式的函数称为微分 方程的解.
如:(3,4,7)
定义5 微分方程的解中的任意常数的个数与方程
的阶数相同,这种解称为方程的通解.不含有任意 常数的解称为特解.
lnC1x2
p C 11 x2 C1C
即有: y C1 1 x2
将条件 y |x0 3代入得: C1 3
对 y 3 1 x2 两端再积分得:
y
3x
x3 3
C2
再将
y
x0 1 代入得: C2
1 3
故所求方程的特解为: y x3 3x 1
3、右端不显含x的方程
微分方程 yfy,y
当 Qx 0 时,有 y Pxy 0
称为一阶线性齐次微分方程.
…(1) …(2)
当 Qx 不恒等于零时,称为一阶线性非齐次方程.
通常也说(2)是(1)对应的齐次方程.
其解法为:
由(2)易得: dy Pxdx
y
lnyPxdxlnC1
y Ce Pxdx ( C 为任意常数) …(3)
这就是(2)的通解.
高等数学
第6章 常微分方程
主要内容:
一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、可降阶的微分方程 四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
引例 1 某曲线过点 (1,2) 且任一点处的切线的 斜率为 2x ,求曲线方程.
解 依题意有 y 2x
……(1)
且 y x1 2 ,
……(2)
的含有n个任意常数的通解。
例8 解方程 y e2x cos x .
解 对方程两边连续积分三次得:
y1e2x sinxC 2
y1 4e2xcoxsC xC2
y8 1e2xsixn C 1x2C 2xC 3 C1
C 2
2、右端不显含y的方程
微分方程 yf(x,y)
其特点:不显含有未知函数 y 解法:
1)当 c c1 0 时,显然为齐次方程(略)
2)当 c 2
c1 2
0且
a a1
b b1
时,
令 x X h, y Y k ,代入上式有:
dY aX bY a hbkc dX a1Xb1Ya1hb1kc1 显然可取适当的 h, k ,使得:
ahbk c 0 a1hb1k c1 0
从而有: dY dX
x 12 2x123 C
3
三、可降阶的微分方程)
…(1)
对这类方程,只须两端分别积分一次就可化为
n-1阶方程: y(n1) f(x)d xC 1
同理可得: y(n2) [ f(x)dx C1]dx C2
依此法继续进行,接连积分n次,便得方程(1)
0
得:
h
k
3 2
,将
x
y
X Y
3 2
代入方程(*)得:
dY2XY dX XY
2Yx
1YX
令 Y u ,则Y uX , d u Y X d ,于是u
uXXdu2u,分离d 变量有:X d u1X dX
dX 1u
u2 2u2 X
所以 1 2
即: X
lnu 2
2u C1
2 ln C1 ln X
从而可得:s 0.2t 2 20t
……(7)
由上两例,得如下相关定义: 定义1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变
量关系的方程称为微分方程. 如:(1,5)
定义2 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶
数称为微分方程的阶. 如:(1)为一阶,(5)为二阶,
f x, y, y , y, , yn 为 n 阶.
x
dx
dx
于是原方程变为: u x du u 2 ,即: x du u
dx u 1
dx u 1
分离变量得: 1
1 u
du
dx x
两端积分得: u ln u C ln x
即: ln xu u C ,将 u y 代回有:ln y y C
x
x
3、可化为齐次方程的微分方程
以下讨论方程 dy ax by c dx a1 x b1 y c1
这是可分离变量的微分方程.
例6 解方程 2x y 4dx x y 1dy 0
解 由原方程得: dy 2x y 4 …(*)
dx x y 1

x
y
X Y
h k
,则
dx dy
dX dY
,代入方程(*)得:
dY 2XY2hk4,又由 dX XYhk1
2h h k
k 1
4
0
C1 A
将条件
dx dt
t 0
0 代入
dx dt
k C1
sin kt
k C2
coskt 得:
C2 0 将 C1,C2 代入 x C1 cos kt C2 sin kt 得所求特解为:
xAcokst
二、一阶微分方程
1、可分离变量的微分方程 先看一个实例:
y 2xy2 将其化为 1 dy 2xdx
1 2
ln
x2 y2
1 1
C1
即:
x2 1 y2 1 C
y|x01
C 1 2
故所求特解为: x 2 1 1 y2 1 2
例4 设放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变的铀
原子的含量 M 成正比.已知时间 t 0 时铀的含
量为 M 0 ,求衰变过程中铀的含量 M t 随时间
t 0 的变化规律.
y2 两边积分有: 1 x 2 C
y 即 y 1
x2 C
若某微分方程可化为:
gydy f xdx
的形式,称这种类型的微分方程为可分离变量的微 分方程.
形式: gydyfxdx
特点:左边的表达式中只含有 y ,右边的表达式中
只含有 x .
解法:两边积分
因为:若 f x, gy连续, 设 y x是 gydy f xdx
aX a1 X
bY b1Y
可化为齐次方程求解.
3)若 a b 时, 令 a b
a1 b1
a1 b1
代入原方程有:
dy dx
ax by c
ax by c1
再令 ax by v ,有 dv a b dy
dx
dx
代入上一方程得: 1 dv a v c
b dx v c1
y x
,则
y
ux
, 从而有:
dyux du,将其代入原方程得:
dx
dx
ux duu ,
dx
du dx
uu x
思路:作变换 u y , y ux ,使之成为可分离变 x
量的微分方程.
例5 解方程 y 2 x 2 y xyy.

由原方程得: dy dx
y2 xy x2
y x
2
y x
1
令 y u ,则 dy u x du
令 y p 为一新的未知函数,则可化为
p f x, p ,这是一阶微分方程,可解.
例9 求方程 1 x 2 y 2xy 满足 y x0 1, y x0 3
的特解.
解 设 y p ,则 y dp ,从而方程化为:
dx
dp p
2x 1 x2
dx
,两端积分得:
ln p ln 1 x2 lC n
由(1)可得:y x 2 C
……(3)
所以 y x 2 1
……(4)
引例 2 火车以 20 米/秒行驶时,若以 0.4m / s2 的加速度刹车,则到停止时位移为多少?
解 设刹车后位移与时间关系为 s st ,
则有
d 2s dt 2
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