第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。

可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。

其中，C 为任意常数，1()()dy g y g y ⎰表示函数的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 等于（ ） （A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e +【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点且其上任一点处的切线斜率为()2ln 1,x x +则()_______f x =.【例3】求下列微分方程的解 1、231dy y dx xy x y+=+ 2、2(1)(1)0y dx y x dy ++-= 3、221dy x y xy dx =+++【考点二】形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ的微分方程称为齐次方程。

其解法是固定的：令x y u =，则dx du x u dx dy ux u +==,，代入得 ()u dxdu x u ϕ=+ .分离变量，得()x dx u u du =-ϕ 。

两端积分，得()⎰⎰=-x dx u u du ϕ，求出积分后，将u 换成xy ，即得齐次方程的通解 【例5】求下列微分方程的通解.1、222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=2、(1ln ln )dy y y x dx x =+- 3、(ln ln )dy xy y x y dx +=+ 4、1dy dx x y =+【考点三】1. 形如()()0dy p x y Q x dx+=≠的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为：[]⎰+⎰=⎰-c e x Q dx x p )(p(x)dx )(e y . 【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分⎰和dx x p )(dx e x Q dx x p ⎰⎰)()(，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c 。

2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。

3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程()()y p x y Q x '+=等价于p(x)dx ()e [()]().p x dx y p x y e Q x ⎰⎰'+=⋅即).(][)()(x Q e y e dx x p dx x p ⋅⎰='⋅⎰两边积分得,)()()(⎰+⎰=⋅⎰c dx e x Q y e dx x p dx x p 即 .])([)()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x p dx x p【例6】设)(x f 为连续函数，（1）求初值问题⎩⎨⎧==+'=0)(0x y x f ay y 的解)(x y ，其中a 是正常数；（2）若k x f ≤)(（k 为常数）。

证明：当0≥x 时，有()ax e a k x y --≤1)(【例7】求下列微分方程的通解. 1、32(21)0y dx xy dy +-=，2、522(1)1dy y x dx x -=++ 3、2sin 1x xy y x y ππ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩【例8 】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【例9】设)(x y 连续，求解方程20)(21)(x x y dx s y x =+⎰ .【例10】过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式arcsin 1y x '=的曲线方程为______y =.【例11】求微分方程()20xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

【例12】函数()()[0,),0 1.f x f +∞=在上可导且满足等式()()()010,1x f x f x f t dt x '+-=+⎰ （1）求导数()f x '；（2）证明：当()0,: 1.x x e f x -≥≤≤时成立不等式【考点四】二阶常系数齐次线性微分方程:1．标准形式：0=+'+''qy y p y ，q p ,均为常数。

2．通解公式：①特征方程为02=++q pr r ；②若特征方程有互异实根21r r ≠，则通解为2121r r e c e c y +=；③若特征方程有相等实根r r r ==21，则通解为()rx e x c c y 21+=；④若特征根为共轭复根βαi r ±=（βα,为常数，0>β），则通解为()x c x c e y x ββαsin cos 21+=【例13】求下列微分方程的解1、20y y y '''+-=2、8160y y y '''++=3、230y y y '''-+=【例14】设()x c x c e y x cos sin 21+=（21,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。

【考点六】二阶常系数非齐次线性微分方程：1．大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

2．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：)(x f qy y p y =+'+''，其中q p ,为常数，若特解为*y ，对应的齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)()()(2211x y c x y c x y +=，则原方程的通解为)()(2211x y c x y c y y ++=*。

3．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：①设x n e x P qy y p y λ)(=+'+''，其中)(x P n 是n 次多项式，设特解x n k e x Q x y λ)(=*，其中)(x Q n 也是n 次多项式，当λ不是0=+'+''qy y p y 的单特征根时，0=k ；当λ是0=+'+''qy y p y 的重特征根时，2=k ，再设0111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- ，将x n k e x Q x y λ)(=*代入微分方程x n e x P qy y p y λ)(=+'+''，两端比较x 同次幂系数，就可求出符定系数n a a a ,,,10 。

②设[]wx x P wx x p e qy y p y l n x sin )(cos )(+=+'+''λ其特解为[]wx x Q wx x R e x y m m x k sin )(cos )(+=*λ其中{}l n m ,max =，而k 按iw +λ （或iw -λ）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。

4．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：设0)(≠=+'+''x f qy y p y ，且对应齐欠微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)()(2211x y c x y c +，其中21,c c 为任意常数。

将21,c c 换成函数，)(),(21x y x y 保持不变，即令)()()()()(2211x y x c x y x c x y +=是)(x f qy y p y =+'+''的通解，其中)(),(21x c x c 是待定系数。

函数)(),(21x c x c 的求法如下： 先求方程组''1122''''1122()()()()0()()()()()c x y x c x y x c x y x c x y x f x ⎧+=⎨+=⎩ 解出'1()c x 与'2()c x ，再积分就可得出)(1x c 与)(2x c 代入得 )()()()()(2211x y x c x y x c x y +=就是原方程的通解。