解. P x3 xy2 ,Q x 2 y y3 ,
P y
2 xy
Q x
,
原方程是全微分方程 .
( x, y)
u( x, y) (0,0)
Pdx Qdy
( x, y) ( x3 xy2 )dx ( x2 y y3 )dy (0,0)
(x, y)
x
0
(x3
0)dx
y
0 (
x2
y
y3 )dy
dx
2e y
1
x
1
可分离变量 ( x 1)e y 2x c
例 2.
x
y cos
y x
dx
x cos
y x
dy
0
解.
dy dx
x
y cos
x cos
y x
y x
1
y x
cos
cos
y x
y x
齐次方程
令u
y x
,
则
y
u
x
,
dy dx
u
x
du dx
u
x
du dx
1
ucos cos u
令 u x y , 则 du (u2 1) xdx ,
du
u2 1
xdx
,
du u2 1
xdx
,
1 2
ln
u1 u1
1 2
x2
c
ln
u1 u1
x2
2c
xy1 xy1
c2e
x2
.
(c2 e2c )
隐式通解
17
例4.
d d
y x
x(
y
x)
x3(
y
x)2
1
解.
令 z yx,
则
dz dx
d d
y x
解. 令 u x 1 , v y 1 ,
则 d y d(v 1) dv d x d(u 1) du
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
2
齐次方程
令
z
v u
,
则 v zu ,
dv z u dz
du
du
z u dz 3 z2 du 2z
21
例7.
u
z 1
1 y x
,
x2
1 y
x
c
e
2
x2 2 ,
y x
1
x2
ce 2 x22
x3
e
x2
2 dx
t x22 (2t ) etdt
et (2t 2)
e
x2 2
(
x2
2)
D D1
2t et
# ( x y y sin y)dx ( x cos y)dy 0
解. ydx xdy ( x y sin y)dx cos y dy 0
d( x y) d sin y ( x y sin y)dx
d( x y sin y) dx x y sin y
(x, y) 1
x y sin y
ln( x y sin y) x lnc
# x y sin y ce x .
r
dx
,
arctan f ( x) r x c ,
arctan f (0) 0 c , c 0
arctan f ( x) r x ,
f ( x) tan(r x) . #
16
例3. xdy ydx ( x3 y2 x)dx
解. d( x y) ( x 2 y2 1)xdx
1 4
x4
1 2
x2 y2
1 4
y4
(0,0) ( x,0)
1 4
x4
1 2
x2 y2
1 4
y4
c
为原方程的隐式通解. 8
例5. ( x3 xy2 )dx ( x2 y y3)dy 0
又解.
dy dx
x3 xy2 x2 y y3
1
y2 x2
y x
y3 x3
齐次方程
设u
y x
,
则
y
xu,
d( xy) ydx xdy
(1)
d(ln xy) ydx xdy
(2)
xy
d
1 xy
ydx xdy x2 y2
(3)
d
y x
xdy ydx x2
(4)
d
x y
ydx xdy y2
(5)
d ln
y x
xdy ydx xy
(6)
d arctan
y x
xdy x2
推广 :
y(n) f x, y(n1)
令 y(n1) p( x), 则 y(n) p( x) 3
2). y f ( y, y) 令 y p( y) , 则 y pp pp f ( p, y) p( y) 的一阶方程 .
判别一阶方程类型 ，然后好求解 .
一阶方程的常见形式:
dy dx
常系数线性微分方程 :
y(n) p1y(n1) pn1y pn y 0
(3)
y(n) p1y(n1) pn1y Pn y f ( x)
(4)
特征方程 r n P1r n1 Pn1r Pn 0
(5)
(5) 式的 n 个根对应 (3) 之通解的 n 项 :
u
,
x
du dx
1 ucos cos u
u
u
1 c5os
u
x
d d
u x
1 cos
u
,
cos
u
du
dx x
,
x
sin
ce
y x
.
例 3.
(cos
x)
d d
y x
y
sin
x
1
解.
d d
y x
(tan
x) y
sec
x
一阶线性方程
y
e tan x
dx
sec
x
etan x
dx
dx
c
elncos x sec x elncos xdx c
f (x, y)
或
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
思考 : 将待解方程化成下列形 式之一 ?
可分离变量 ; 齐次方程 ; 线性方程 ;
伯努利方程 ; 全微分方程 .
积分因子 ? 变量代换 ?
4
例1.
(
x
1)
d d
y x
1
2e
y
解 .
dy dx
2e y
1 ( x 1)1
dy
d d
y x
2x4 y x y3
(不是齐次方程 )
解.
d d
y x
2( xa)4( yb) ( xa)( yb)
2( x2)4( y1) ( x2)( y1)
令 u x 2, v y1,
2a 4b 0 a b 3
a b
2 1
则 d y d(v 1) dv d x d(u 2) du
事实上 , x ( x2 y2 )dx y ( x2 y2 )dy 0
( x2 y2 ) ( xdx ydy) 0
x2 y2 0
(1)
或 xdx ydy 0 (2)
(2)
1 2
x2
1 2
y2
c
或 x2 y2 2c
(3)
(1) 式已包含在此隐式解 (3)中 .
10
寻找积分因子 , 要熟悉几个微分算式 :
(0)
lxim01
1 f(
f2 x)
( f
x) (x
)
15
f
( x)
lim
x0
f
(x) f x0
(0)
lim
x0
1
1 f(
f x
2( )f
x) (x)
f (0) 1 f 2( x) r 1 f 2( x)
f ( x) 1 f 2( x)
r
,
f ( x) 1 f 2( x
)
dx
第十二章 常微分方程 习题课
一. 一阶微分方程 :
1. 可分离变量方程
dy dx
(
x)
(
y)
dy
( y)
(
x)dx
2. 齐次方程
dy dx
f
y x
令u
y x
,
则 y ux,
dy dx
u
x
du dx
u
x
du dx
f (u),
x
du dx
f (u) u ,
f
du (u)
u
dx x
.
1
3. 线性方程 y p( x) y Q( x)
dy dx
u
x
du dx
.
u
x
du dx
1 u2 u u3
,
x
du dx
1
2u2 u4 u u3
1 u2 u
,
udu 1u2
dx x
,
1 2
ln(1
u2
)
ln
x
ln
c
,
ln(1 u2 ) 2ln x 2ln c ,
x2(1 u2 ) 2c , x2 y2 c2 . 9
例5. ( x3 xy2 )dx ( x2 y y3)dy 0
dv du
2u 4v uv