习题二1. 证明方程043=-+x x在区间[1，2]内有一个根。

如果用二分法求它具有5位有效数字的根，需要二分多少次。

证明:（1） 不妨令4)(3-+=x x x f ，求得：02)1(<-=f 06)2(>=f又因为4)(3-+=x x x f 在区间[1，2]内是连续的，所以在区间[1，2]内有至少一个根。

又因为13)(2'+=x x f在区间[1，2]内013)(2'>+=x x f ，所以4)(3-+=x x x f 单调。

得证，043=-+x x在区间[1，2]内仅有一个根。

（2）具有5位有效数字的根，说明根可以表示成54321.a a a a a ，所以绝对误差限应该是5a 位上的一半，即：4105.0-⨯=ε。

由公式：ε≤-+12k ab 可得到, 14=k迭代次数为151=+k 次。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. 用二分法求方程0)2(sin )(2=-=xx x f 在区间[1.5，2]内的近似根（精确到10-3）。

解：043499.05625.099749.0)25.1(5.1sin )5.1(2>=-=-=f 009070.0190930.0)22(2sin )2(2<-=-=-=f所以0)2(sin )(2=-=x x x f 在区间[1.5，2]内有根，又x cos )('-=x x f在区间[1.5，2]内0x cos )('<-=x x f所以0)2(sin )(2=-=xx x f 在区间[1.5，2]内有根，且唯一。

符合二分条件，可以用二分法，二分的次数为：31k 105.02a b -+⨯≤- k =9说明似根即为满足用户要求的近9x 。

]b ,a [00即 [1.5，2]，2b a 000+=x 75.1=，算得 021836.076563.098399.0)(0>=-=x f因为：0)()(0>x f a f 所以：]b ,a [11即 [1.75，2]，2b a 111+=x 875.1=，算得 007518.087891.095409.0)(1>=-=x f……007518.087891.095409.0)(2>=-=x f……1.9342b a 999≈+=x ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.已知方程0123=--x x在5.1=x 附近有根，判断所给出的几个迭代公式是否收敛.并选取一种迭代公式计算近似根。

解：首先求出有根区间：在5.1=x附近有根，0.12541.51.5)1.5(3=-+=f >0 -0.21641.41.4)1.4(3=-+=f <013)('2+=x x f 在区间[1.4，1.5]上单调递增，所以在区间[1.4，1.5]内有唯一根。

（1） 迭代函数为2111)(kk x x x g +==+，可求得：32)('x x g -=在区间[1.4，1.5]上32)('x x g -=<1由定理2-2所以2111)(kk x x x g +==+在1.5附近具有局部收敛性。

-----------------------------------------------------------------------------------------5.用牛顿法求方程0133=--x x 在x =2附近的根。

（精确到10-4）解：已知13)(3--=x x x f ，则33)('2-=x x f ，显然：迭代函数)()(1k k k k x f x f x x '-=+等价于：33132k k 3k 1----=+x x x x x k k3-3122k 3k 1x x x k +=+初始近似根20=x ，888889.1323122231=-⨯+⨯=x888889.11=x ，788671.13888889.131888889.12232=-⨯+⨯=x788671.12=x ，886201.13788671.131788671.12233=-⨯+⨯=x886201.13=x ，879419.13886201.131886201.12234=-⨯+⨯=x 879419.14=x ，879385.13879419.131879419.12235=-⨯+⨯=x 因为： 445105.0000034.0-⨯≤=-x x所以8794.15≈x 既满足要求的近似根。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7.试用牛顿法导出求3a 的迭代公式，并用此公式求32.1的近似根，精度为10-3。

解： （1） 令3a x =，则03=-a x ，求3a 等价于求方程0a )(3=-=x x f 的正实根。

23)('x x f =所以0a )(3=-=x x f 得牛顿迭代公式)()(1k k k k x f x f x x '-=+等价于： ,2,1,0)2(313a 2231=+=--=+k x a x x x x x kk k k k k（2）并用此公式求32.1的近似根，精度为10-3a =1.2，牛顿迭代公式为： ,2,1,0)2.12(3121=+=+k x x x kk k而且知道32.1在1.1附近有近似根，不妨令初始近似根1.10=x ，063912.11.12.11.123121≈⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=x063912.11=x ，062660.1063912.12.1063912.123122≈⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=x062660.12=x ，062659.1062660.12.1062660.123123≈⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=x 因为： 323101000001.0-⨯≤=-x x所以063.1062659.13≈=x 既满足要求的近似根。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8.取1.10=x ，用牛顿下山法求方程27.10)(4--=x x x f 在x =2附近的根。

结果为4位有效数字。

解：结果为4位有效数字即：3105.0-⨯=ε。

27.10)(4--=x x x f ，则14)('3-=x x f ，所以迭代公式)()(1k k k k x f x f x x '-=+λ等价于：1427.10341----=+k k k k k x x x x x λ初始近似根20=x ， 3.7327.10)(40=--=x x x f8797.112427.10222341≈-⨯---=x ，3343.027.10)(41=--=x x x f因为)()(01x f x f <，所以8797.11=x ，8666.111.8797427.101.87971.87971.8797342≈-⨯---=x ，0030.027.10)(42=--=x x x f因为)()(12x f x f <，所以8666.12=x ，8666.12=x ，8667.118666.1427.108666.18666.18666.1343≈-⨯---=x 因为： 323105.00001.0-⨯≤=-x x所以866.13≈x 既满足要求的近似根。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9.用弦截法求方程1)(3--=x x x f 在x 0=1.5附近的根。

（x 1=1.4精确到10-3） 解：结果精确到10-3即：3105.0-⨯=ε。

1)(3--=x xx f ，所以弦截法迭代公式())()()(111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 等价于：()))1(()1()1(2131231231---------=---+k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x初始近似根 5.10=x ，4.11=x ，代入迭代方程，得()4633.10633.04.1)1()1()1(2030213101213112=+=---------=x x x x x x x x x x()4657.1))1(()1()1(2131231233=---------=---k k k k k k k k k x x x x x x x x x x()4656.1))1(()1()1(2131231234=---------=---k k k k k k k k k x x x x x x x x x x因为： 334105.00001.0-⨯≤=-x x所以466.14≈x 既满足要求的近似根。