n
原式 lim
n
am n
mk
am 1n a1n a0 n bk bk 1n 1 b1n1 k b0 n k
m 1 k
1 k
k
am , k m; bm 0, k m.
例4 解
an , 其中 a 1. 求 lim n n a 1
即有 | xn || a | 1.
记 M max{ x1 , , xN ,| a | 1}, 则对一切正整数n,皆有 xn M , 故 xn 有界.
注：有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.例如，
数列{(-1) }有界，但它并不收敛（看上节例6）.
n
推论:无界数列必定发散.
当n N 2时, bn b .
取N max{N1 , N 2 }, 则当n N时上述两不等式同时成立，从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2
lim(an bn ) a b.
n
2. anbn ab (an a)bn a(bn b) (an a) bn a bn b .
收敛数列的四则运算法则
定理2.7(四则运算法则)
若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn }也都是收敛数列, 且
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim( an bn ) lim an lim bn
n
an 1 证 由于an bn an (1)bn 及 an , bn bn
因此只需证明关于和、积与倒数运算的结论即可.
设 lim an a, lim bn b, 则 0, 分别存在正数N1与N 2 , 使得
n n
当n N1时， n a ； a
0 hn 2 (n 1), n 1
2 2 又因 lim 0, 故有例1的结论，有 lim 0. n n 1 n n 1
由迫敛性知 lim( n n 1) lim hn 0.
n n
因此，由定理2.1得 lim n n 1.
n
定理2.4(保号性) 若 lim xn a 0(或 0), 则对任何
n
a (0, a)(或a (a, 0)), 都存在正数N , 使得当 n N时有xn a(或xn a).
证 若 lim xn a 0，则对于 a a( 0), 存在正数N , 使得

收敛于-1，故数列( 1)n 发散.
1
k 1
n 发散，故数列 sin 发散. 2
【小结】 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 保不等式性; (5), 迫敛性 (6), 四则运算法则;
(7), 收敛数列与其子列的关系. 作业 P35: 3、4(4)—(6),
an 1 若a 1, 则有 lim n ; n a 1 2
若 | a | 1, 则有 lim
n
a
n
n
a 1

lim a n
n
lim(a 1)
n n
0;
若 | a | 1, 则有 an 1 1 lim n lim lim 1. n n a 1 n 1 n 1 1 n 1 a a
称为数列{xn }的一个子列, 简记为{xnk }.
例如, x2 k 1 和 x2 k 都是{xn }的子列.
注1.由定义1可知, 数列{xn }的子列{xnk }的各项都来自 xn }, { 且保持这些项在{xn }中的先后次序.
{xnk }中的第k项就是{xn }中的第nk 项，故总有nk k.
注2. 数列{xn }本身以及{xn }去掉有限项之后得到的数列， 都是{xn }的子列；
定理 2.8(修改） 数列{xn }收敛于a的充要条件是 :{xn }的任何子列都收敛于a.
证 必要性 设 lim xn a,{xnk }是{xn }的任一子列.则对于
n
任给 0, 存在正数N , 使得当k N时,有 xk a .
例3 求 解：
am nm am 1n m 1 a1n a0 lim , 其中 m k , am 0, bk 0. k 1 n b n k b b1n b0 k k 1 n
分子、分母同除以n k ,由第一节例2（当 0时， n =0)有 lim
于是，由前面的式子可得，当n N时
由收敛数列的有界性定理，存在正数M，使对于一切n有 bn M .
anbn ab ( M a ) .
n
由的任意性，就有 lim anbn ab.
3.若 lim bn b 0, 则由P.28习题， | bn || b | 0. lim
1 再由收敛数列的保号性, 存在正数N3使得当n N3时有 bn b . 2 取N max{N 2 , N3}，则当n N 时有 1 1 bn b 2 bn b 2
bn b bnb b
2
n
n

b
2
.
1 1 由的任意性, 这就证得 lim . n b b n
第二章 数列极限
§1 §2 §3 数列极限概念 收敛数列的性质 数列极限存在的条件
收敛数列的性质
定理2.2(唯一性) 如果数列{xn}收敛 则它只有一个极限
证明 证明 假设同时有 lim xn a 及 lim xn b 且 a<b
n n
b a >0 存在充分大的正整数 N 按极限的定义 对于 2 使当n>N时 同时有 |xna|< b a 及|xnb|< b a 2 2 因此同时有 xn b a 及 xn b a 2 2 这是不可能的同理可证a>b也是不可能的.所以只能有ab
若a 0, 则由 lim an 0知, 0, 存在正整数N， n 2 使得当n N时有an , 从而 an ，即
| an 0 | ,
故有 lim an 0 a .
n
若a 0, 则由lim an a知， 0, N N ,当n N时,恒有
使得当时n N1有 当n N 2时有 a an , bn a . (5) (6)
n
n
取N max{N 0 , N1 , N 2 }, 则当n N时, 不等式(4)(5)(6)同时成立, 即有 a an cn bn a ,
P35: 1、6（2）（3）.
用“ N”定义,证明“lim xn a”的一般方法：
n
1、把 | xn a | 适当运算或放大：
2. 0，求N :
M 因为 | xn a | （其中M 0, 0, n N0 ). n
例5
求 lim n ( n 1 n )
n
n 解： n ( n 1 n ) n 1 n
1 , 1 1 1 n
1 1 lim n ( n 1 n ) lim . n n 2 1 1 1 n
子列
定义1 设{xn }为数列,{nk }为正整数集N 的无限子集, 且 n1 n2 nk , 则数列xn1 , xn2 , , xnk ,
n n
思考题：如果把定理中条件an bn换成严格不等式an bn， 此时结论能否换作 lim an lim bn吗 ?
n n
例1 设an 0( n 1, 2,).证明 : 若 lim an a, 则 lim an a .
n n
a 证： 由保不等式性知 0.
n
当n N时有xn a a, 这就是要证的结果.
对于a 0的情形, 也可类似地证明 .
推论(补)：如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存 在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0)
a 注：在应用时经常取 . a 2
'
定理2.5 （保不等式性）设{an }与{bn }均为收敛数列. 若存在 正数N 0 , 使得当n N 0时有an bn , 则 lim an lim bn . n n 证 设 lim an a, lim bn b，则 0, 分别存在正数N1与N 2 ,
n
an a a ,
从而有 an a
故 lim an a .
n
an a an a

an a a
.
定理2.6 （迫敛性）设数列{an },{bn }都以a为极限, 数列{cn }满足 : 存在正数N 0 ,当n N 0时有 an cn bn , (4) 则数列{cn }收敛, 且 lim cn a. n 证若 lim an lim bn a，则对于任给 0, 分别存在正数N1与N 2 ,
由此得到 cn a , 所以 lim cn a.
n
例2 求数列{ n n }的极限.
解
记an n n 1 hn , 这里hn 0, 则有
n
n(n 1) 2 n(n 1) 2 n n (1 hn ) 1 nhn hn hn hn . 2 2
n n n
特别地，当bn为常数c时, lim(an c) lim an c; lim(can ) c lim an .
n n n n
an 若再假设 lim bn 0, 则 也是收敛数列, 且有 n bn