100所名校高考模拟金典卷 数学卷（二）
一、选择题． 共12小题， 每题5分．
1．已知复数i m z 21+=， i z 432-=， 若21z z 为实数， 则实数m 的值为（C ） A ．23 B ．38 C ．－23 D ．－3
8 2．已知集合{})1(2
2log |－x y x A ==， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1)21(|－x y y B ,则B A ⋂等于（D ） A ．（2
1， 1） B ．（1， 2） C ．（0， ＋∞） D ．(1， ＋∞) 3．设R a ∈， 则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax L 与直线04)1(:2=+++y a x L 平行”的（A ）
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ．必要条件
D ． 即不充分也不必要条件
4．已知向量a ， b 都是单位向量， 且2b =－a ， 则)(b a a +⋅的值为（C ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
5．已知6.05=a ， 56.0=b ， 56.0log =c ， 则a ， b ， c 的大小顺序是（D ）
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．c <b <a
6．在如图所示的程序框图中， 若101331
log lg ⋅=U ， 221
log 2=V ， 则输出的S 等于（B ）
A ．2
B ．21
C ．1
D ．4
1
7．某几何体的三视图如图所示， 图中的四边形都是边长为2的正方形， 两条虚线互相垂直， 则该几何体的体积是 （A ）
A ．320
B ．3
16 C ．68π- D ．38π- 8．已知函数x x x x f 212)(2-++=， 则)(x f y =的图像大致为 （A ）
9．函数)2|)(|2sin()(πϕϕ<
+=x x f 向左平移6π个单位后是奇函数， 则函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为（A ）
A ．23-
B ．2
1- C ．21 D ．23 10．某大学的八名同学准备拼车去旅游,其中大一大二大三大四每个年级各两名,分乘甲乙两辆汽车.每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置）,其中大一的孪生姐妹需乘同一辆汽车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有(B)
A ．18种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点)0,(c F ， 直线c
a x 2
=与其渐近线交于A ,B 两点， 且ABF △为钝角三角形， 则双曲线离心率的取值范围是（D ）
A ．),3(+∞
B ．)3,1(
C ．),2(+∞
D ．)2,1(
12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数)(x f 的图像上；②点A 、B 关于原点对
称， 则这两点A 、B 构成函数)(x f 的一个“姊妹点对”.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=),0(2),0(2)(2x e
x x x x f x
则)(x f 的“姊妹对点”有 （C ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题． 共4小题， 每题5分．
13．二项式103)1)(x
x -展开式中的常数项是______． 210 14．已知x ， y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-≤+122x y x y x ， 且a y x ≥+2恒成立， 则a 的取值范围为______．1-≤a
15．一个圆锥过轴的截面为等边三角形， 它的顶点和底面圆周都在球O 的球面上， 则该圆锥的表面积与球O 的表面积比值为______．16
9 16．在正向等比数列}{n a 中， 215=
a ， 376=+a a ， 则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为______．12
三、解答题．
17．（本小题满分12分）
在△ABC 中， 角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且π4
3=
C ， 55sin =A ． （1） 求B sin 的值；
（2） 若105-=-a c ， 求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员的学生体重情况， 将所得的数据整理后， 画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3， 其中第2小组的频数为12．
（1） 求该校报考飞行员的学生人数；
（2） 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据， 若从本省报考飞行员的学生中（人数很多）任
19．(本小题满分12分) 知己正三棱柱111C B A ABC -中， 2=AB ,31=
AA ,点D 为AC 的中点， 点E 在线段1AA 上．
（1） 当2:1:1=EA AE 时， 求证：1BC DE ⊥． （2） 是否存在点E ， 使二面角A BE D --等于ο
60？若存在， 求AE 的长；若不存在， 请说明
理由．
原图 辅助图
20．（本小题满分12分）
已知抛物线)0(2:2>=p py x C ， 定点)5,0(M ， 直线2
:p y l =
与y 轴交与点F ， O 为原点， 若以OM 为直径的圆恰好过l 与抛物线C 的交点．
（1） 求抛物线C 的方程； （2） 过点M 做直线交抛物线C 与B A ,两点， 连BF AF ,后延长交抛物线分别于B A '',， 分别以点
B A '',为切点的抛物线
C 的两条切线交与点Q ， 求证：点Q 在一条定直线上．
21．（本小题满分12分）
已知函数b x x x f ++-=23)(， x a x g ln )(=．
（1） 若)(x f 的极大值为27
4， 求实数b 的值； （2） 若对任意[]e x ,1∈， 都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立， 求实数a 的取值范围；
（3） 当0=b 时， 设⎩⎨⎧≥<=1
),(1),()(x x g x x f x F ， 对任意给定的正实数a ， 曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,,使得△POQ 是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
请考生在第22、23、24、三题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图， AB 是⊙O 的直径， 弦CA BD 、的延长线交于点E ， EF 垂直BA 的延长线与点F ． 求证：
（1）DFA DEA ∠=∠;
（2）AC AE BD BE AB •-•=2
．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数a x x x f ++-=212)(， 3)(+=x x g ．
（1） 当2-=a 时， 求不等式)()(x g x f <的解集；
（2） 设1->a ， 且当⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-
∈21,2a x 时， )()(x g x f ≤， 求a 的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为θθρ2sin cos 4=， 直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧+==a t y a t x sin 1,cos ， )0(π<≤a t 为参数， ．
（1） 把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程， 并说明曲线C 的形状；
（2） 若直线l 经过点（1， 0）， 求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．。