R
R
ur(t)
C
uc(t)
ur(t) C
R2 uc(t)
（a）
（b）
图 2-33 无源网络
解.(a) 应用复数阻抗概念可写出
Ur
(s)
=
R1
1 cs
R1
+
1 cs
I (s)
+Uc
(s)
I(s) = Uc(s) R2
联立式（1）、式（2），可解得
U c (s) = R2 (1 + R1Cs) U r (s) R1 + R2 + R1R2Cs
微分方程为
duc dt
+
R1 + R2 CR1 R2
uc
=
dur dt
+
1 CR1
ur
(b) 由图解 2-2（b）可写出
Ur (s) =
R
I
R
(s)
+
[
I
R
(s)
+
I
C
(
s)]
1 Cs
IC
(= s) 1 Cs
RIR (s) − RIC (s)
UC (s) =
Ic
(
s)
R
+
[
I
R
(s)
+
I
C
(s)]
1 Cs
化，试推导 id = f (ud ) 的线性化方程。 解 将 i= (0) 2.19 ×10−3 A 代入 id = 10−14 (eud / 0.026 − 1)
解得
ud 0 = 0.679V
将 id = 10−14 (eud / 0.026 − 1) 在( ud 0 ， i0 )处展开为泰勒级数，
+
1 C2R2
uc
=
du
2 r
dt 2
+
2 CR
dur dt
+
1 C2R2
ur
(c) 由图解 2-2（c）可写出
Ur (= s) R1 [I1(s) + I2 (s)] + (Ls + R2 )I2 (s) (6)
1 Cs
I1
(s)
=
(Ls
+
R2
)I2
(s)
(7)
U c (s) = R2 I 2 (s)
f
( dx1 dt
−
dy ) dt
=
k2
y
（2）
联立式（1）、（2）可得：
dy + k1k2 y = k1 dx dt f (k1 + k2 ) k1 + k2 dt
(c) 如图解 2-1(c)所示，取 A,B 两点分别进行受力分析。对 A 点有
F (t) − k(x − y) = m d 2 x
(3)
dt 2
- 12 -
对 B 点有
k(x
−
y)
=
m
d2y dt 2
联立式（3）、（4）消去中间变量 x 可得
（4）
d4y dt 4
+
2K m
d2y dt 2
= mK2 F (t)
图解 2-1(c)
2-2 应用复数阻抗方法求图 2-33 所示各无源网络的传递函数。
C
C
R1
L
R1
ur(t)
R2 uc(t)
并取一次近似，有
id
= i0
+ ∆id
= i0
+
10 −14
⋅
1 0.026
⋅
eud
0
/
0.026
⋅
∆ud
= ∆id
10−14
⋅
1 0.026
⋅
eud
0
/
0.026
⋅
∆= ud
0.085 ⋅ ∆ud
图 2-35 二极管电路
- 15 -
即在( ud 0 ， i0 )附近 id = f (ud ) 的线性化方程为= ∆id 0.085 ⋅ ∆ud 。
(8) 图解 2-2(c)
联立式（6）、（7）、（8），消去中间变量 I1 (s) 和 I 2 (s) ，可得
Uc (s) =
R2
U r (s) R1LCs 2 + (L + R1R2C)s + (R1 + R2 )
微分方程为
duc2 dt 2
+
L + R1R2C R1LC
duc dt
+
R1 + R2 R1LC
k1k 2
k1 k2 k1
图解 2-3(a)
(b) 由图可写出
Uc (s) =
Ur (s)
R2
+
1 C2s
R2
+
1 C2 s
+
R1
⋅
1 C1s
R1
+
1 C1s
整理得
Uc (s) =
R1R2C1C2 s 2 + (R1C1 + R2C2 )s + 1
U r (s) R1R2C1C2 s 2 + (R1C1 + R2C2 + R1C2 )s + 1
F (t) − ky(t) −
f
dy dt
=
m
d2 dt
y
2
整理得
d
2 y(t) dt 2
+
f m
dy(t) dt
+
k m
y(t)
=
1 m
F (t)
（b）如图解 2-1(b)所示，取 A,B 两点分别进行
受力分析。对 A 点有
k1(x − x1)
=
f
( dx1 dt
−
dy ) dt
（1）
对 B 点有
uc
= R1RL2C ur
2-3 证明图 2-34 (a) 所示的力学系统和图 2-34 (b) 所示的电路系统是相似系统（即 有相同形式的数学模型）。
图 2-34 系统原理图
解
(a) 取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有
k2 (x − y) + f 2 (x − y) = f1 ( y − y1 )
2-5
假设某容器的液位高度 h 与液体流入量 Qr
dhLeabharlann 满足方程dt+α S
h
=
1 S
Qr
，式中 S
为液位容器的横截面积，α 为常数。若 h 与 Qr 在其工作点 (Qr0 , h0 ) 附近做微量变化，试
第 2 章习题及解答
2-1 建立图 2-32 所示各机械系统的微分方程（其中 F (t) 为外力，x(t) 、y(t) 为位移； k 为弹性系数， f 为阻尼系数， m 为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦）。
图 2-32 系统原理图
解. （a）以平衡状态为基点，对质块 m 进行受力分析（不再
考虑重力影响），如图解 2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出
(1)
- 14 -
对 B 点有
f1 ( y − y1 ) = k1 y1
(2)
对式（1）、式（2）分别取拉普拉斯变换，
消去中间变量 y1 ，整理后得
f1 f2 s2 + ( f1 + f2 )s +1
Y (s)
=
k1k 2
k1 k2
X (s)
f1 f2 s2 + ( f1 + f2 + f2 )s +1
比较两系统的传递函数，如果设 R1 = 1 k1 ， R2 = 1 k2 ， C1 = f1 ， C2 = f 2 ，则两系统
的传递函数相同，所以两系统是相似的。
2-4
如图
ud
2-35
所示，二极管是一个非线性元件，其电流 id
和电压 ud
之间的关系为
=id 10−14 (e0.026 − 1) ，假设电路在工作点 u(0) = 2.39V ，i= (0) 2.19 ×10−3 A 处做微小变
（3） （4） （5）
- 13 -
（c） （1） （2）
图解 2-2（b）
联立式（3）、式（4）、式（5），消去中间变量 IC (s) 和 I R (s) ，可得
Uc (s) Ur (s)
=
R2C 2s2 R2C 2s2
+ 2RCs + 3RCs
+1 +1
微分方程为
duc2 dt 2
+
3 CR
duc dt