数学必修4
令狐采学
一.选择题：
1.3
π的正弦值等于
（ ）（A ）
2
3
（B ）21 （C ）2
3-
（D ）2
1-
2．215°是 （ ）
（A ）第一象限角 （B ）第二象限角 （C ）第三象限角 （D ）第四象限角
3．角α的终边过点P （4，－3），则αcos 的值为 （ ） （A ）4 （B ）－3（C ）5
4（D ）5
3-
4．若sin α<0，则角α的终边在 （ ） （A ）第一、二象限 （B ）第二、三象限
（C ）第二、四象限 （D ）第三、四象限 5．函数y=cos2x 的最小正周期是 （ ） （A ）π （B ）2
π（C ）4
π（D ）π2
6．给出下面四个命题：① 0=+BA AB ；②AC C =+B AB ；
③BC AC =－AB ；
④00=⋅AB 。

其中正确的个数为（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 7．向量)2,1(-=a ，)1,2(=b ，则 （ ） （A ）a ∥b （B ）a ⊥b
（C ）a 与b 的夹角为60°（D ）a 与b 的夹角为30°
8. 化简
1160-︒2sin 的结果是
( )
（A ）cos160︒ （B ）cos160-︒ （C ）cos160±︒ （D ）cos160±︒ 9
．
函
数
2)cos[2()]
y x x ππ=-+是
（ ）
（A ） 周期为4
π的奇函数 （B ） 周期为4
π的偶函数
（C ） 周期为2
π的奇函数 （D ） 周期为2
π的偶函数
10．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下
，
此
函
数
的
解
析
式
为
（ ）
（A ）)3
22sin(2π+=x y （B ）)3
2sin(2π+=x y
（C ）)3
2
sin(2π-=x y （D ）)3
2sin(2π-=x y
二.填空题
11．已知点A （2，－4），B （－6,2），则AB 的中点M 的坐标为 ； 12．若)3,2(=a 与),4(y b -=共线，则y ＝ ； 13．若2
1tan =α，则
α
αα
αcos 3sin 2cos sin -+= ；
1421==b a ，a 与b 的夹角为3
πb a b a -+= 。

15．函数x x y sin 2sin 2-=的值域是∈y ； 三．解答题
16．(1)已知4
cos
5
，且为第三象限角，求sin 的值 (2)已知3tan =α，计算 α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值.
17．已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =,
||1b =, (1) 求
a b ;
(2) 求
||a b +.
18. 已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
(1) ka b +与3a b -垂直？
(2)
ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
19．设)1,3(=OA ，)2,1(-=OB ，OB OC
⊥，BC ∥OA ，试求满足
=+的的坐标（O 为坐标原点）。

20.某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+
（1）根据以上数据，求出()y f t =
的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？ 21. 已知(
3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+,
且()f x a b =
(1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时, ()f x 的最小值是－4 ,
求此时函数()f x 的
最大值, 并求出相应的x 的值.
答案
一．选择题：ACCDABBBCA 二．填空题：
11. （－2，－1） 12. －6 13. －3 14. 21
15.[－1,3]
三.解答题:
16.解：（1）∵22cos sin 1αα+=，α为第三象限角
∴3
sin
5
α===-
（2）显然cos0
α≠
∴
4sin2cos
4sin2cos4tan24325
cos
5cos3sin
5cos3sin53tan5337
cos
αα
ααα
α
αα
ααα
α
-
--⨯-
====
+
+++⨯
17.解：（1）17.解：(1) 1
||||cos60211
2
a b a b
==⨯⨯=
(2) 22
||()
a b a b
+=+
所以||3
a b
+=
18.(1,2)(3,2)(3,22)
ka b k k k
+=+-=-+
（1）()
ka b
+⊥(3)
a b
-，
得()
ka b
+(3)10(3)4(22)2380,19
a b k k k k
-=--+=-==
（2）()//
ka b
+(3)
a b
-，得1
4(3)10(22),
3
k k k
--=+=-
此时1041
(,)(10,4)
333
ka b
+=-=--，所以方向相反。

19. 解：设),(y x
OC=，由题意得：
⎩
⎨
⎧
=
-
-
=
-
⋅
⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⋅
)1,3(
)2,1
(
)
,
(
)2.1
(
)
,
(
λ
λy
x
y
x
20. 解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值
为7，13710
2
h
+
==，1373
2
A
-
==
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此29
T
π
ω
==，2
9
π
ω=，
故2
()3sin10
9
f t t
π
=+(024)
t≤≤
（2）要想船舶安全，必须深度()11.5
f t≥，即2
3sin1011.5
9
t
π
+≥
∴21
sin
92
t
π
≥
25
22
696
k t k
πππ
ππ
+≤≤+解得：
315
99
44
k t k
+≤≤+k Z
∈
又024
t≤≤
当0k =时，3334
4
t ≤≤；当1k =时，3391244
t ≤≤；当2k =时，
33182144
t ≤≤ 故船舶安全进港的时间段为
(0:453:45)
-，
(9:4512:45)
-，
(18:4521:45)-
21.解: (1)
()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+
即
22()cos cos f x x x x m =
+-
(2)
221cos 2()22x x
f x m +=
+- 由
,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
,
52,666x π
ππ⎡⎤∴+
∈-⎢⎥⎣⎦
,
1sin(2),162x π⎡⎤
∴+∈-⎢⎥⎣⎦
,
211
422
m ∴-+-=-, 2m ∴=±
max 11()1222
f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6x π
=.。