本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
9．在三棱锥 中， 平面 ，且 为等边三角形， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出 的外接圆半径 ，利用公式 可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥 的外接球的表面积.
， ， ．
所以
故选 ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题．
3．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆锥 的底面半径为 ，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.
【详解】
设圆锥 的底面半径为 ，则高为 ， 圆锥 的母线长 ，
圆锥 的侧面积为 ；
圆柱 的底面半径为 ，高为 ，
8．在以下命题中：
①三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面；
②若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线；
③对空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
④若 ， 是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底
⑤若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；
故所求体积比为
故选：A
【点睛】
本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.
15．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）
A．PA，PB，PC两两垂直B．三棱锥P-ABC的体积为
C． D．三棱锥P-ABC的侧面积为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC的直观图如图所示，
其中D为AB的中点， 底面ABC.
所以三棱锥P-ABC的体积为 ，
， ， ，
， 、 不可能垂直，
即 不可能两两垂直，
， .
三棱锥P-ABC的侧面积为 .
故正确的为C.
故选：C.
又圆锥的体积 ， ， ，
圆柱 的侧面积为 ，
圆锥 与圆柱 的侧面积之比为 .
故选： .
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）
【详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 为异面直线 与 所成角，如下图所示：
设正四面体 的棱长为 ， ，
在 中， ，
在正四面体 中，易知 ，
所以在等腰三角形 中，
所以 所以异面直线 与 所成角可能为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，则 ， ， 共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量 ， 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 ， 共线，故②正确；
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为 ，则该几何体的表面积为
11．如图，在棱长为2的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面 内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接 ，根据面面平行的判定定理可知平面 平面 ，从而可得 的轨迹是 （不含 两点）；由垂直关系可知当 时， 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
对于D， ， ，又由 ，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
13．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则几何体的体积为（）
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为 ，
侧面积与底面积的比为 ,则母线l=2r,圆锥的高为h= ,
则圆锥的体积为 ,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R= ,BD=r,
在直角三角形BOD中，由勾股定理得 ,即 ,
展开整理得R= 所以外接球的体积为 ,
【详解】
如图，在 上取中点 ，在 上取中点 ，连接
， 且 ，
平面 平面 ，则动点 的轨迹是 （不含 两点）
又 平面 ，则当 时， 取得最小值
此时，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
12．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列可以推出 的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是三棱锥与 圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可．
【详解】
解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与 圆锥体的组合体，
如图所示；
则该组合体的体积为 ；
所以对应不规则几何体的体积为 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳
一、选择题
1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积 ，故选B．
【点睛】
【详解】
的外接圆半径为 ，
底面 ，所以，三棱锥 的外接球半径为 ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
10．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
2．如图，在长方体 中， ,而对角线 上存在一点 ，使得 取得最小值，则此最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 并求出，就
是最小值．
【详解】
把面 绕 旋转至面 使其与对角面 在同一平面上，连接 ． 就是 的最小值，
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于 ，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
6．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图 所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为 厘米，瓶底直径为 厘米，瓶口距瓶颈为 厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 厘米，现将 颗石子投入瓶中，发现水位线上移 厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为 ，高为 ，体积为 ，
则由题意可得 ，
，
圆柱的体积为 ，
则 ．
当且仅当 ，即 时等号成立．
圆柱的最大体积为 ，