平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点，BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:S A?0A S B ?0B S C ?0C 0°D 罟0B 誥0C0DSB0D SC0DSB0D SC0DSA0ASB0AE OASB0ASC0A SB SC0DS BS CS A ?0A S B ?0B S C ?0C 0推论o 是ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则BD DCS A BD S B0D S ABD S B0DS ACD S C0DSACDSC0DS CS鱼 0B 生 0CS BS CSBS C0AoASBS BS CSB SC0B二0C有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 00是SABC的内心BOC : S COA:S AOB■a:b:c a ?OAb?oB c?oC 00是ABC的外心S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2Csin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0O是ABC的垂心S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanCtan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0tanA 竺,tanBADCDDBtan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: ADS BOC : S COA tan A:tan B同理得S COA : S AOB tan B :tanC,S BOC：S AOB tan A:tanCS BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,一•知识梳理:四心的概念介绍：A.重点B.外心C.内心D.垂心2已知0是平面上一定点，A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足UUUT UUU UUU UL11TOP OA (AB AC),(0,)，则P 的轨迹一定通过△ ABC 的().A.重点B.外心C. 内心D.垂心UJU UUU 【解析】由题意 AP (ABUUU AC), 当 (0,)时，由于 UUU (AB UULTAC)表示BC 边上 的中线所在直线的向量，所以动点 P 的轨迹一定通过 △A B C 的重心，如图⑵(入€( 0, +x)),则动点P 的轨迹一定通过厶ABC£( )A.内心B.重心C.外心D.垂心三角形“四心”的相关向量问题(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； (3) 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心) ⑷外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)与"重心”有关的向量问题1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，2： 1 ；，角平分线上的任意点到角两边的距离相等;uuu ULUT UULT 若GA GB GC 0，则G 是厶ABC 的()3 .0是厶ABC 所在平面内一点，动点 AC如图⑴.A图⑵解：作出如图的图形AD丄BC由于|忑|sinB=|I£|sinC=AD,|AB|SinB |AC|£inC 1^1由加法法则知，P在三角形的中线上故动点P的轨迹一定通过厶ABC的重心故选：B.与“垂心”有关的向量问题3 P是厶ABC所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是△ ABC 的（）A.重点B.外心C.内心D. 垂心uuu uuu【解析】由PA PBuuuPBuur uuuPC ,得PBuuu(PAuuPC) 0 ,即卩PB CAuuu mu UJU uuu0 ,所以PB丄CA •同uuu uuu理可证PC丄AB ,uuuuuuPA丄BC .••• P是厶ABC的垂心•如图⑶.图⑶4已知0是平面上一定点，A, B,uuuOPuuuOAUULTAC■uuu----- ■uuAB cosB AC, （0,）,则动点P的轨迹一定通过△ ABC A.重点 B.外心 C.内心 D.垂心cosCuuuABuuu 【解析】由题意APLOTuuuAB则点H 是厶ABC 的（）A.重点B.外心C.内心D.垂心故H 是厶ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题6已知I 为△ ABC 所在平面上的一点，且AB c , AC b , BC a •若nr ur nr aIA bIB cIC 0，则 I 是厶 ABC 的（） .A.重点 B.外心C.内心D.垂心由于 -uuu ------ AB cosB-uuuu ----- AC cosCuuu BC 0,]uuul ABcosBAC cosCuuuu uuuu uuu uuuBC CB 0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于 BC 的直线上，所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷5若HABC 所在平面内一点，且iuur 2 uuu 2 uuu 2 uuu 2 uur 2 uuur 2 HA BC HB CA HC AB(HA得(HA 即（HC 同理ACHB)?BA HB CAHC)?BA HB, BC(CA CB)?BACB)?BA 00 AB HC HA ,uuuAB uuu ACuuu uuu AB BC uiur uuuAC BC2证明：Q HACA【解析】UU ••• IBUU IA UUU AB ，UJT C UU IA UUUT AC ， 则由题意得(aUU b c)IA UUU bABUUUT cAC 0，UUU UUUTUUUUUUT UULT UUU UUU UUUTUULT UUU AB AC -bABcAC AC AB AB ACACAB 鎚/YX-Z 1 ■ II W .UUUI | ，AB ACuurAC uuuUULff分别为AB 和AC 方向上的单位向量,ULT••• AI 与/ BAC 平分线共线，即 AI 平分同理可证：BI 平分 ABC ，CI 平分 ACB •从而I 是厶ABC 的内心，如图⑸O 在 △ ABC 所 在 的A.垂心B.重心C.内心D.外心二一的模等于1，因而向量一 是单位向量UUU UUUT rbeAB ACAIi ■ 1 ■ II IT ■a b cABAC的( ) ABBC1BC |I BA I)=oc<- CA CB则O 是厶ABCuuu • AB 与A 1~~f■ACBAC •7已知0是平面上一定点,A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP 0AAB AC(0,)，则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的()•A.重点B.外心C.内心D.垂心UUU UUIT UUUAB AC 【解析】由题意得 APUUU ACT ，•当T(0,)时，AP 表示 BAC 的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过 △ ABC 的内心，如图⑹I a I I 3 Iuuu AB UUU ------- AB cosBuuu ACUUU ------ AC cosC•••由向量」丄—为邻边构成的四边形是菱形, |AC| \^\ 预•（竺 蛙）二0 |AC| |AB|可得AO 在/ BAC 的平分线上 同理可得OB 平分/ ABC OA 平分/ ACB • 0是厶ABC 的内心.故选：C. 与“外心”有关的向量问题 ujuu uumr 8已知O 是△ ABC 所在平面上一点，若 OA 0B 2uuuLrOC 2，则O 是厶ABC 的（）A.重点B.外心C.内心 CD.垂心 uuu 2 UUU 2 uuir 2uuu 2uuu 2 uur 2 uuuuuu【解析】若OA OB OC ，则 OAOBOC，…OAOB图⑺ uuirOC ，则O 是△ ABC 的外心，如图⑺。
已知O 是平面上的一定点，A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuu uuirUUL OB OC OP2（0， ），则动点P 的轨迹一定通过△ ABC 的（）。
A.重点B.外心C.内心D.垂心uuu uuur OB OC【解析】由于过BC 的中点，当 （0,）时,2的轨迹一定通过 △ABC 的外心，如图⑻四心的相互关系1. 三角形外心与垂心的向量关系及应用 设△ ABC 的外心为O ，则点HABC 的垂心的充要条件是2. 三角形外心与重心的向量关系及应用 设△ ABC 的外心为O ，则点G 为△ ABC 的重心的充要条件是3. 三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 设厶ABC 的外心、重心、垂心分别为 O 、G 、H ，则O 、G 、H 三点共线（O 、G 、H1三点连线称为欧拉线），且OG -GH 。
2 相关题目10.设△ ABC 外心为O,重心为G.取点H,使 —「 -I. 求证：（1） H 是厶ABC 的垂心；（2） O, G H 三点共线，且 OG GH=1 2. 【解答】证明：（1）v^ ABC 外心为O,/.||OA |=|5B |=|CE |又I/.B-1 ：-1'- I '■ I :'则二匸=门 T ?:「「-「「=- =0uuu示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、4条解释。
），所以P 在BC 垂直平分线上，动点 PUUUT AC uuu ------- AC cosCiuiu iuu uuu uur OH OA OB OC 。
uur 1 uuu uuu uuurOG3(OA OB OC )uur即AH L BC同理BH L AC, CH L AB即H是厶ABC的垂心；(2)v ABC的重心: | 「I「=3 1「「•''=3 i+ -1= i 即1=3( J即O, G, H三点共线，且OH=3OG即O, G, H三点共线，且OG GH=1 2。