一、填空（每小题2分，共10分）
5x 1 2 3
1．在多项式()f x = 1 x -2 1 2 中，4
x 的系数项为 ，3
x 的系数 1 2 x 3 -1 1 2 2x 项为 。
20x y z +-=
2．当k = 时，线性方程组 20x ky z +-= 有非零解。
350x z -= 3．设矩阵1
1112A
--⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则1
()A *-= 。
1 2 3 0
4．设矩阵A = 0 -1 0 3 ，则A 中四个列向量构成的向量组是线性 ，
1 -
2 2 1 0 0 0 5
且()R A = 。
5．设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11112345,,,,则行列式1
B E --= 。
二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号
内。
每小题2分，共20分）
1 3 1 λ 0 -1
1．设行列式1D = 2 2 3 ，2D = 0 λ 0 ，若1D =2D ，则λ的取值为 3 1 5 -1 0 λ （ ）。
（A ）0，1 （B ）0，2 （C ）1，-1 （D ）2，-1 2．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，且0AB =，则（ ） （A ） 0BA = （B ） 222
()A B A B -=+ （C ） 0B = （D ） 0B =或0A =
3，已知A 、B 、C 均为可逆方阵，则1
000
00
0C B A -⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
=（ ）。
（A ）1
1
1000
000C
B
A ---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1
1
1000
000A
B
C ---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （C ）11
1000
000
A B
C ---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ （D ）1
1
100000
0B C
A ---⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
4．若A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，则有（ ）。
（A ）1T A A E -= （B ）1T A A -= （C ）T A A =- （D ）0A = 5．设有4维向量组16,,αα ，则（ ）。
（A ）16(,,)4R αα= （B ）16(,,)2R αα= （C ）1234,,,αααα必然线性无关
（D ）16,,αα 中至少有2个向量能由其余向量线性表示 6．当（ ）时，0a A b
c ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
是正交阵。
（A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c ===
7．若线性方程组A X B =中，方程的个数少于未知数的个数，则（ ）。
（A ）0AX =必有非零解 （B ）0AX =仅有零解
（C ）0AX =一定无解 （D ）A X B =必有无穷多解
8．设123,,,ηηη 为非齐次线性方程组A X B =的k 个线性无关的解()k n <，且
1122
k k X c c c ηηη=+++ （12,,k c c c 为任意常数且121k c c c ++= ）是A X B =的通解。
则()R A =（ ）。
（A ）k （B ）n k - （C ）1n k -+ （D ）1n k -- 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ ）正确。
（A ）A 一定有n 个不同的特征值 （B ）A 一定有n 个相同的特征值
（C ）必存在正交矩阵P ，使1
P AP -成为对角矩阵
（D ）A 的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的
10．设A ，B 均为阶方阵，1()T
n X x x = 且T T
X AX X BX =，则当（ ）时，A=B 。
（A ）()()R A R B = （B ）T A A = （C ）T B B = （D ）T A A =且T B B =
三、计算题（每小题8分，共64分）
2 1 1 1 1．计算4阶行列式 D = 4 2 1 -1 201 102 -99 98 1 2 1 -2
2．设矩阵 1112
1010
4A ⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪⎝
⎭，1
002
1002
1B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，求：（1）2B -；（2）AB BA -。
1 1 0 0
3．设 A = 0 1 0 0 ，利用分块矩阵求n
A （其中2n ≥为整数）。
0 0 1 -1 0 0 -1 1
4．设向量组1234(1,1,1,4,3),(1,1,3,2,1),(2,1,3,5,5)(3,1,5,6,7)T
T
T
T
αα
αα==--==
，
求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用该极大线性无关组线性表出。
5．设向量组123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,),T
T
T
T
a b c αααβ==-=-=试问：当,,a b c 满足什么条件时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表示唯一？（2）β不能由123,,ααα线性表示？（3）β可由123,,ααα线性表示，但表示不唯一？
123412x x x x +++=
6．求解方程组 123432x x x x -++= 。
12343353x x x x +++=
7．已知三阶矩阵A 的三个特征值为8，2，2，对应特征值2λ=的特征向量为
12(1,1,1),(1,1,0)T
T
X X ==-，求：（1）8λ=对应的特征向量3X ；（2）问A 是否与对角
矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵A ，并求出矩阵P ，使1
P AP A -=。
8．将二次型2
2
2
1231231223(,,)2322f x x x x x x x x x x =++--化为标准型，并写出变换矩阵。
四、证明题（6分）
设(2)T
A E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量。
证明：对任一n 维列向量β，均有A ββ=。