数列型不等式放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一 利用重要不等式放缩1． 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k Θ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nn nnn n22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例 2 已知函数bx a x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题）简析 )2211()()1()0(22114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=n f f x x f xx x x Λ .2121)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-++-n n n n n ΛΛ 例3 已知b a ,为正数，且111=+ba ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n nb a b a .（88年全国联赛题）简析 由111=+b a 得b a ab +=，又42)11)((≥++=++a bb a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，令nnnb a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b aC ΛΛ，因为in n i n C C -=，倒序相加得)(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n-------+++++++ΛΛ， 而1211112422+------=⋅≥≥+==+==+n nnn n n rn r r rn n n b a b aabba b aabb aΛΛ，则)(2n f =))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ⋅-≥)22(n 12+n ，所以)(n f ⋅-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .例4 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++-Λ.简析 不等式左边=++++nn n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，原结论成立.2．利用有用结论例5 求证.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n Λ=+⋅⋅n n 212674523Λ)12(212654321+⋅-⋅⋅n nn Λ⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ法2 利用贝努利不等式)0,1,2,(1)1(≠->≥∈+>+*x x n N n nx x n 的一个特例12121)1211(2-⋅+>-+k k (此处121,2-==k x n )得 =-+∏⇒-+>-+=)1211(121212111k k k k n k .1212121+=-+∏=n k k n k注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。

如理科题的主干是：证明.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n Λ(可考虑用贝努利不等式3=n 的特例)例6 已知函数.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n n a n x f xx x x 给定Λ求证：)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。

（90年全国卷压轴题）简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式∑∑∑===≤ni ini ini ii bab a 121221])([的简捷证法：⇔>)(2)2(x f x f >⋅+-++++n n a n x x x x 2222)1(321lg Λnn a n x x x x ⋅+-++++)1(321lg2Λ 2])1(321[x x x x n a n ⋅+-++++⇔Λ])1(321[2222x x x x n a n n ⋅+-++++•<Λ而由Cauchy 不等式得2))1(1312111(x xxxn a n ⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅Λ•++<)11(22Λ])1(321[22222x x x x n a n ⋅+-++++Λ(0=x 时取等号)≤])1(321[2222x x x xn a n n ⋅+-++++•Λ（10≤<a Θ），得证！例7 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++)(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ）（05年辽宁卷第22题）解析 )(II 结合第)(I 问结论及所给题设条件ln(1)x x +<（0x >）的结构特征，可得放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n nn a n n a ln )2111ln(ln 21 n n n n a 211ln 2+++≤。

于是n n n n n a a 211ln ln 21++≤-+，.22112211)21(111ln ln )211()ln (ln 11211111<--=--+-≤-⇒++≤---=+-=∑∑n n n in i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n <⇒<-注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩：⇒-+-+≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ⇒+-+≤++)1)()1(11(11n n a n n a .)1(1))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212112<-<+-+⇒-<+-+⇒∑∑-=+-=na a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-<⇒+<+例8 已知不等式].[log 2,],[log 211312122n n N n n n >∈>+++*Λ表示不超过n 2log 的最大整数。

设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤>=--n a n na a b b a n n n求证.3,][log 222≥+<n n b ba n （05年湖北卷第（22）题）简析 当2≥n 时na a a n a a n na a n n n n n n n 11111111+=+≥⇒+≤-----，即n a a n n 1111≥--.1)11(212k a a nk k k n k ∑∑=-=≥-⇒ 于是当3≥n 时有⇒>-][log 211121n a a n .][log 222n b b a n +< 注：①本题涉及的和式n13121+++Λ为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论][log 21131212n n >+++Λ来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。

例9 设nn na )11(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.4<n a解析 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a bn n n -+<-++（证略）整理上式得].)1[(1nb a n b a n n -+>+（⊗）以n b n a 11,111+=++=代入（⊗）式得>+++1)111(n n .)11(n n+ 即}{n a 单调递增。

以nb a 211,1+==代入（⊗）式得.4)211(21)211(12<+⇒⋅+>n n n n此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4)11(<+n n，又因为数列}{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4)11(<+n n。