i I A
2.欧拉公式的适用范围
cr p
欧拉公式成立的条件：
cr
2E 2
p
即
2E p
p
欧拉公式适用范围 p Q235 钢，E=206GPa p = 200MPa
p 2p E 222 00 0161 0 6 0 9 100
9
3.临界应力总图
cr cr=s
sA B P
O s
cr=ab
C
cr
图，我们知道， 越大，越容易失稳。
16
计算 y z
在屏幕平面绕 y 轴失稳时
Iyh 13b 221 0 12 0 3 2 1 0 1 0 22 8 1 8 7 0 m 4
iy
Iy A
22 01 8 0 1 2 8 1 0 7 00 6 0.03m 46
∵ 两端固定
∴ y = 0.5
y
18
∵ z > y
∴ 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕 平面内绕 z 轴失稳。
p
2E p
28 11006109 110
yl
iy
0.57 101 0.0346
17
在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时
Izb 13h 21 1 2 1 2 20 3 0 10 1 0 28 1 5 0 m 4
iz
Iz A
12 8 2 010 0 51 0 06 0.05m 77
∵ 两端铰支
∴ z = 1
z
zl
iz
17 121 0.0577
E=205GPa,试确定压杆的截面直径d.
解：因为d未知，不能确定压杆的柔度。采用试算法。
假设为细长杆： PcrnstPma x(2lE )2 I d2m 5 m
经验算： l0.75005.83 1
i 24 /4
2E 101 p
假设不合理！
2
a s
b
304240 57.1 1.12
13
例111 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内
失稳时柱的两端可视为固定端(图a)；若在 垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视 为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。
14
P
P
(a)
15
h=200
l=7m
y z
b=120
l=7m (b)
解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承 条件不相同，因此，首先必须判断，如果 木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总
一端固支一端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式
Pcr
2EI
(0.7l ) 2
6
各种杆端约束情况下压杆的欧拉 临界压力
Pcr
2 EI ( l)2
式中，为压杆的长度系数。
思考：压杆失稳形式
压杆端部约束情况 长度系数
两端固定
0.5
一端固定，一端绞支 0.7
两端绞支
1
一端固定，一端自由
2
7
11.3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图
压杆的稳定性
1 压杆稳定的概念 2 细长压杆的欧拉临界压力 3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 4 压杆的稳定计算 5 纵横弯曲的概念
1
11.1 压杆稳定的概念
压杆的稳定性是指压杆保 持或恢复原有平衡状态的 能力
2
11.2 细长压杆的欧拉临界压力
理想压杆的概念 •完全对中等截面； •载荷作用无偏心； •光滑（球形）铰链。
2E 2
D
P
0 < s 称为小柔度杆，cr = s s < p 称为中柔度杆，cr = a b
10
1 细长杆的临界应力
cr22Ep
2E p
引入记号
1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2 中长杆的临界应力（经验公式）
cr ab ,21
2
a s
b
3 短杆的临界应力（强度问题） crs,2
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
11 .55 mm
1
2E p
2205109
200106
101
所以，压杆为细长杆。
maxmax{y,z}121.21
12
Pcr2E2 A33.06kN
例题 一端固定一端球绞的圆截面杆的最大工作压力为4kN，
其长度0.5m,规定nst=6，材料为A3,p=200MPa, s=240MPa,
细长压杆的临界应力
cr
Pcr A
2EI (l)2 A
引入记号 l 称为压杆的柔度或细长比
i
称是一个无量纲的量，它综合反映了压杆 长度、约束条件、截面形状和尺寸对压杆临 界应力的影响。
细长压杆的临界应力
cr
2E 2
图示钢制压杆的稳定性不合要求，可 以采取哪些措施改进设计？其中换用 8 其他钢材对Pcr影响不大，为什么？
5
A sin 0 B cos 0 l Q 0 P
kA cos 0 Bk sin 0 Q 0 P
A sin kl B cos kl 0 Q 0 P
A,B,Q/P不能同时为零 ，即行列式
0 1l k 0 10 tan (kk ll)(k)lmin 4.5 siknlcoksl 0
11
例题 由A3钢制成的矩形截面杆，其两端用绞销支撑如图。已 知截面尺寸：a=40mm,b=60mm。求此杆的临界压力。
设l=2.1m, l 1=2m,E=205GPa,p=200MPa。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
齐次方程邮非零解的条件，
0 1 0 sikn l0 knπ
siknlco ks ll由此可得，Pn2 2EI
l2
压杆的临界压力是使弯杆保持压 缩平衡状态的最小压力。
两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式=〉
Pcr
2EI
l2
压杆承受的压力达到临界 压力时的微弯曲线，称为 失稳波形或失稳形式。
4
n=1时的 失稳波形
在线弹性、小变形下，近似地， EyIM (x)py
压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内， 所以惯性I应为截面最小的惯性矩Imin。
引入记号： k 2 P ，改写为 yk2y0
EI
通解为： yAsikn xBco ksx
3
边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支)， 即
Asin0Bco0s0 AsinklBcoksl0
一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力
在线弹性、小变形下，近似地，
E y IM (x ) Q (l x ) py
引入记号： k 2 P ，改写为
EI
yk2yQ(lx) EI
通解为： yAsikn xBco ks xQ (lx)
P
边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 (两端绞支)， 即