临界力
（Critical force）
压杆失稳时，两端轴向压力的特殊值
§9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Fcr作用下在曲线状态 平衡，然后设法去求挠曲函数。若：
1）求得的挠曲函数≡0， 说明只有直线 平衡状态；
2）求得不为零的挠曲函数，说明压杆的 确能够在曲线状态下平衡，即出现失 稳现象。
l x x
x Fcr
A
w
Fcr （+）
w
M (x)= Fcrw
B y
(a)
B y
(b)
M(x)=Fcrw
EIw'' M (x) Fcrw 令 Fcr k 2
EI w''k 2w 0 w Asin kx Bcoskx
当x=0时，w=0。
0 A0 Bcoskx
得：B=0，
w Asin kx
w Asin kx
又当x=l时， w=0。
得 Asin kl = 0
要使上式成立，
x
1）A=0
w=0；
Fcr
代表了压杆的直线平衡状态。
A
2） sin kl = 0
w
Fcr
此时A可以不为零。
w
M (x)= Fcrw
l x x
B y
(a)
B y
(b)
w Asin kx 0 失稳!!!
失稳的条件是： sin kl 0 kl nπ
第9章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念
稳定
事物保持常态。
失稳
事物无法保持常态。
理想中心压杆： 1. 直杆（无初曲率）, 2. 无残余应力, 3. 压力无偏心。
F
F（较小） F（较小） F（特殊值） F（特殊值）
QQ
QQ
轴压
压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯
失稳
曲线平衡 曲线平衡
保持常态、稳定
Ⅰ-Ⅰ截面
解：1）求BC杆的轴力
以AB梁为分离体，对A点 取矩，有：
MA 0
1 2
q
32
FNBC
sin
30
2
0
FNBC 4.5q
2）求BC杆的临界力
π(D4 d 4 ) π(504 404 )
I
=181132mm4。
64
64
2m
A 30°
Ⅰ Ⅰ C
1m q
B
Fcr
π 2 EI l2
π2
206103 ×181132
y z
故压杆在xz平面内失稳。
因为y p 100
所以欧拉公式可用。
cr
π2E
2
π2 206 103 138 .52
106MPa
2）b与h的合理比值
y
yl
iy
z
zl
iz
当压杆在两个失稳平面内的稳定性相同时最合理：
y z
y z
yl zl
iy
iz
0.8l 1 l b / 12 h / 12
解：1）实心圆截面压杆
i d 4
60 4
15mm
l 1 2000 133.3 p
i
15
2E p
π2 206103 100.8
200
故欧拉公式可用。
Fcr
π 2 EI
(l)2
π2
206103π 604 (1 2 103 )2
/
64
323.5kN
2）空心圆截面压杆 i和λ均发生了变化，故应重新计算。
Fcr l nπ EI
Fcr
n 2 π 2 EI l2
(n=1,2,…)
Fcr
Fcr min
π 2 EI l2
理想中心压杆的欧拉临界力
Fcr
π 2 EI l2
在确定的约束条件下，欧拉临界力Fcr： 1）仅与材料（E）、长度(l)和截面尺寸(A) 有关，材料的E越大，截面越粗，杆件越 短，临界力Fcr越高； 2）是压杆的自身的一种力学性质指标，反映
承载能力的强弱，临界力Fcr越高，稳定性 越好，承载能力越强；
3）与外部轴向压力的大小无关。
例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，
2m
A 30°
Ⅰ Ⅰ C
1m q
B
两端球形铰支，材料为Q235钢， E=206GPa。试根据该杆的稳定性 要求，确定横梁上均布载荷集度 q之许可值。
(2×103/cos30°)2
=69 kN
[FNBC ] 120kN FNBC 4.5q ≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 ·压杆的长度因数
Fcr
π 2 EI
(l)2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好； 约束越弱，μ系数越大， 临界力Fcr越低，稳定性越差。
§11-3 欧拉公式的应用范围
1. 欧拉公式的应用范围
π 2 EI
Fcr (l)2
cr
Fcr A
π 2 EI
(l)2 A
π2E
(l)2 A
π2E
(l )2
欧拉临界应力
Ii
l
i
cr
π2E
2
λ称为柔度， 无量纲。
cr
π2E
2
l
i
1) 柔度λ中包含了除材料之外压杆的所有信息，是
压杆本身的一个力学性能指标；
2) 柔度越大，压杆越细柔，临界应力Fcr越低，稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。 对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆，柔度λ越大， 越可以使用欧拉
公式计算压杆的临界力。
例 两端为球形铰支的压杆，长度l=2m，直径d=60mm， 材料为Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa。试求该压杆的 临界力；若在面积不变的条件下，改用外径和内径分别 为D1=68mm和d1=32mm的空心圆截面，问此压杆的临界 力等于多少？
b
解：1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz A
bh3 /12 h 60 17.32mm
bh
12 12

z
zl
iz
1 2000 17.32
115.5
在xz平面内：
iy
Iy A
b3h /12
bh
b 40 11.55mm 12 12
y
yl
iy
0.8 2000 11.55
138.5
失去常态、失稳
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
例 图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长l=2m， 材料为Q235钢，E=206GPa 。两端用柱形铰与其它构件 相连接，在正视图的平面（xy平面）内两端视为铰支；
在俯视图的平面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因
数μy=0.8。试求此压杆的临界应力；又问b与h的比值等
于多少才是合理的。