§1.1 命题与量词 1.1.1 命 题学习目标 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假．知识点 命题的概念1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． 3．分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句.1．一般陈述句都是命题．( × )2．命题也可以是这样的表达式：“x >5”．( × ) 3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．( √ ) 4．含有变量的语句也可能是命题．( √ )5．如果一个陈述句判断为假，那么它就不是命题．( × )题型一 命题的判断例1 下列语句为命题的有________．(填序号)①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③220是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}中的元素； ⑤作△ABC ≌△A ′B ′C ′. 答案 ①④解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句．反思感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)陈述句才可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0； (5)一个数的算术平方根一定是负数； (6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数． 考点 命题的定义 题点 命题的定义解 (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则x 2＋4x ＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题． (5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． 题型二 命题真假的判断例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．(填序号) 答案 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；因为AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，所以cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究本例中命题④改为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？ 解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角时，才可以判定三角形为锐角三角形．反思感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( ) A ．若x ＜e ，则ln x ＜1B ．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．已知数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足a cos B ＝b cos A ，则该三角形为等腰三角形 答案 D解析 对于A ，需满足x ＞0；对于B ，若b ＝0，其结论不一定成立；对于C ，若a n ＝0，则结论不成立．命题改写要关注大前提典例 “已知c >0，当a >b 时，ac >bc ”．把该命题改写成“若p ，则q ”的形式．解 该命题的“若p ，则q ”的形式为已知c >0，若a >b ，则ac >bc .[素养评析] (1)将含有大前提的命题改写成“若p ，则q ”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p ，则q ”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变． (2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养.1．下列语句为命题的是( ) A ．2x ＋5≥0 B ．求证对顶角相等 C ．0不是偶数 D ．今天心情真好啊考点 命题的定义 题点 命题的定义 答案 C解析 结合命题的定义知C 为命题． 2．下列命题是真命题的为( ) A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列C ．若|x |<y ，则x 2<y 2D ．若a ＝b ，则a ＝b 答案 C解析 选项A ，只有当a >b 且ab >0时， 才能得到1a <1b；选项B ，令a ＝b ＝c ＝0，此时显然不是等比数列； 选项D ，若a ＝b <0，则结论显然不成立，故选C. 3．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则ac 2>bc 2；④矩形的对角线互相垂直． 其中假命题的个数是________． 答案 4解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x ，y 中一个为零，另一个不为零时，|x |＋|y |≠0；③当c ＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直．4．若命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为__________． 答案 (－∞，0)∪(0,1)解析 据题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，4－4a >0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a <1，故a 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．5．若命题“函数y ＝log 2(x 2－mx ＋4)的值域为R ”为真命题，则实数m 的取值范围为________________．答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)解析 由题意可知，满足条件时，需方程x 2－mx ＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m )2－4×4≥0，解得m ≤－4或m ≥4.1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．一、选择题1．下列语句中是命题的是( ) A ．周期函数的和是周期函数吗？ B ．sin 45°＝1 C ．x 2＋2x －1>0D ．指数函数的图象真漂亮！ 答案 B2．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100 ℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；对于B，所给语句是命题；对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．3．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析②④正确．4．下列命题是真命题的是()A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M答案D解析A中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交答案D解析D中如果α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案B解析设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是()A．2<x<4 B．x<2或x>4C．－2<x<4 D．x<－2或x>4考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案C解析由x2－2x－8<0，解得－2<x<4，∴p是“－2<x<4”．8．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：①直线l上的点都在平面α内；②直线l上有些点不在平面α内；③平面α内任意一条直线都不与直线l平行．其中真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案D解析直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断①②③都是假命题，故选D.二、填空题9．给出下列语句，其中不是命题的有________．(填序号)①2是无限循环小数；②当x＝4时，2x>0；③垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？ ④一个数不是奇数就是偶数； ⑤2030年6月1日上海会下雨． 答案 ③⑤解析 ③为疑问句，故③不是命题；⑤不是命题，因为该语句无法判断其真假． 10．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ； ③对角线相等的四边形是矩形； ④若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0. 其中真命题的序号是____________． 答案 ①②④解析 ①中Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，但它不是矩形，故为假命题；④为真命题． 11．若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 答案 (0,2)解析 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．三、解答题12．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0. 解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，当c <0时，a <b ，∴该命题是假命题． (2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题． (3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0. 该命题是真命题．13．(1)已知命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有解”是真命题，求a ，b 满足的条件； (2)已知命题“若x 1<x 2<0，则a x 1>ax 2”是假命题，求a 满足的条件．解 (1)因为ax 2＋bx ＋1＝0有解，所以当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时， 方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程， 有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时， 方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)因为命题当x 1<x 2<0时，a x 1>ax 2为假命题，所以应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤ax 2， 即a (x 2－x 1)x 1x 2≤0.因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以a ≤0.14．给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅； 命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数． 分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围： (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解 命题甲为真命题时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.命题乙为真命题时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时， a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a <－12或a >13. (2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况： 甲真乙假时，13<a ≤1；甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫13<a ≤1或－1≤a <－12. 15．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得由A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解 如果A ，则B ，即“若x >1＋a 5，则x >1”，由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a ≥4；如果B ，则A ，即“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4.。