二次根式的知识点汇总
知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,
如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:取值范围
1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意
义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等
于零即可。
2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没
有意义。
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即
0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或
0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平
方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,,
而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无
意义,而.
二次根式
21.1 二次根式:
1. 有意义的条件是 。
2. 当__________
3. 1
1
m +有意义,则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式:429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =,则x 的取值范围是 。
7. 2x =-,则x 的取值范围是 。
8. )1x p 的结果是 。
9. 当15x ≤p 5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. =
成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005
_____________a b -=。
13. )))020x y x x y =-+f p 中,二次根式有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是( )
15. 若23a p p )
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
16. 若A =
=( )
A. 2
4a + B. 2
2a + C. ()2
2
2a + D. ()2
2
4a +
17. 若1a ≤
)
A. (1a -
B. (1a -
C. (1a -
D. (1a -
18.
=x 的取值范围是( ) A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x f D. 2x ≥
19.
)
A. 0
B. 42a -
C. 24a -
D. 24a -或42a - 20.
下面的推导中开始出错的步骤是( )
(
)
(
)
()()
123224==-=
=∴=-∴=-Q L L L L L L L L L L L L L
A. ()1
B. ()2
C. ()3
D. ()
4 21. 2440y y -+=,求xy 的值。
22. 当a 1取值最小,并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母:
())10x f ())21x f
24. 已知2310x x -+=
25. 已知,a b (10b -=,求20052006a b -的值。
21.2 二次根式的乘除
1. 当0a ≤,0b p __________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算:
_____________=。
5. 面积为,则长方形的长约为 (精确到0.01)。
6. 下列各式不是最简二次根式的是( )
7. 已知0xy f ,化简二次根式的正确结果为( )
C. D. 8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( )
A. 2
a b =+a b =+
22a b =+a b =+
9. -和- )
A. --f --p C. -=-不能确定
10. ) A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算:
()
1 ()2
()(()
30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f
()5()6⎛÷ ⎝
12. 化简:
())10,0a b ≥≥ ()2
()3a
13. 把根号外的因式移到根号内:
()1.-()(2.1x -
21.3 二次根式的加减
1. )
2. 下面说法正确的是( )
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
3. )
4. 下列根式中,是最简二次根式的是( )
5. 若12x p p ) A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3
6. 10=,则x 的值等于( ) A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±
7. x ,小数部分为y y -的值是( )
A. 38. 下列式子中正确的是( )
=a b =-
C. (a b =-22
==
9. 是同类二次根式的是 。
10.若最简二次根式____,____a b ==。
11. ,则它的周长是 cm 。
12. ______a =。
13. 已知x y ==33_________x y xy +=。
14. 已知
x =21________x x -+=。
15.
))
2000
2001
2
2
______________=g 。
16. 计算:
⑴.
⑵(231⎛
+ ⎝
⑶. (()
2
771+-- ⑷. ((((2
2
2
2
1111-
17. 计算及化简:
⑴. 22
- ⑵
⑶
⑷. a b
a b ⎛⎫+--
18. 已知:
x y ==3243223
2x xy x y x y x y -++的值。
19.
已知:1
1a a +=221
a a +的值。
20. 已知:,x y
为实数,且3y p
,化简:3y -
21. 已知11
039322++=+-+-y x x x y x ,求的值。