物理竞赛真题专项(1) 静力学平衡1．〔26届复赛〕二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。

已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。

现于桌面中心点O 至角A 的连线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OAOP，求桌面对桌腿1的压力F 1。

A设桌面对四条腿的作用力皆为压力，分别为1F 、2F 、3F 、4F ．因轻质刚性的桌面处在平衡状态，可推得1234F F F F F +++= (1)由于对称性，24F F =． (2)考察对桌面对角线BD 的力矩，由力矩平衡条件可得13F cF F =+． (3)根据题意， 10≤≤c ，c =0对应于力F 的作用点在O 点，c =1对应于F 作用点在A 点.设桌腿的劲度系数为k , 在力F 的作用下，腿1的形变为1F k ，腿2和4的形变均为2F k ，腿3的形变为3F k ．依题意，桌面上四个角在同一平面上，因此满足13212F F F k k k⎛⎫+=⎪⎝⎭, 即 1322F F F +=． (4)由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得 1214c F F +=， (5) 3124cF F -=， (6) 当12c ≥时，03≤F .30F =，表示腿3无形变；30F <，表示腿3受到桌面的作用力为拉力，这是不可能的，故应视30F =．此时(2)式(3)式仍成立．由(3)式，可得1F cF = (7)综合以上讨论得F c F 4121+=, 102c ≤≤ . (8) cF F =1，121≤≤c . (9)评分标准：本题20分. (1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的结果得4分，得到由(9)式表示的结果得5分． 2．〔20届复赛〕五、(22分)有一半径为R 的圆柱A ，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A 相同，半径为r 的较细圆柱B ，用手扶着圆柱A ，将B 放在A 的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A 与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B 与墙面间的静摩擦系数和圆柱B 的半径r 的值各应满足什么条件？五、参考解答放上圆柱B 后，圆柱B 有向下运动的倾向，对圆柱A 和墙面有压力。

圆柱A 倾向于向左运动，对墙面没有压力。

平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。

现设系统处于平衡状态，取圆柱A 受地面的正压力为1N ，水平摩擦力为1F ；圆柱B 受墙面的正压力为2N ，竖直摩擦力为2F ，圆柱A 受圆柱B 的正压力为3N ，切向摩擦力为3F ；圆柱B 受圆柱A 的正压力为3N '，切向摩擦力为3F '，如图复解20-5所示。

各力以图示方向为正方向。

已知圆柱A 与地面的摩擦系数1μ＝0.20，两圆柱间的摩擦系数3μ＝0.30。

设圆柱B 与墙面的摩擦系数为2μ，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为ϕ。

设两圆柱的质量均为M ，为了求出1N 、2N 、3N 以及为保持平衡所需的1F 、2F 、3F 之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：圆柱A ： 133（1）133 （2）13F R F R = （3） 圆柱B ： 233sin cos 0Mg F N F ϕϕ''---=（4）233cos sin 0N N F ϕϕ''-+= （5）32F r F r '= （6）由于33F F '=，所以得1233F F F F F '==== （7）式中F 代表1F ，2F ，3F 和3F '的大小。

又因33N N '=，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：13sin cos 0Mg N N F ϕϕ-++= （8）3cos sin 0F N F ϕϕ-+= （9）3sin cos 0Mg F N F ϕϕ-+-= （10）23cos sin 0N N F ϕϕ-+=（11）以上四式是1N ，2N ，3N 和F 的联立方程，解这联立方程可得2N F = （12）31sin 1cos sin N Mg ϕϕϕ+=++（13）2cos 1cos sin N F Mg ϕϕϕ==++（14）12cos 2sin 1cos sin N Mg ϕϕϕϕ++=++ （15）式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，1N ，2N ，3N 没有问题，但1F ，2F ，3F 三个力能不能达到所需要的数值F ，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。

三个力中只要有一个不能达到所需的F 值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。

首先讨论圆柱B 与墙面的接触点。

接触点不发生滑动要求222FN μ≥由式（12），得221F N =所以21μ≥ （16） 再讨论圆柱A 与地面的接触点的情形。

按题设此处的摩擦系数为1μ＝0.20，根据摩擦定律f N μ≤，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力1F 满足111F N μ≤，则圆柱在地面上不滑动；若111F N μ>，这一点将要发生滑动。

圆柱A 在地面上不发生滑动的条件是111cos 2cos 2sin FN ϕμϕϕ≥=++（17） 由图复解20-5可知cos R r R rϕ-=+ （18）sin ϕ= （19）由式（17）、（18）和式（19）以及1μ＝0.20，可以求得 19r R ≥（20）即只有当19r R ≥时，圆柱A 在地面上才能不滑动。

最后讨论两圆柱的接触点。

接触点不发生滑动要求333cos 1sin F N ϕμϕ≥=+ （21）由式（18）、（19）以及3μ＝0.30，可解得270.2913r R R ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭（22）显然，在平衡时，r 的上限为R 。

总结式（20）和式（22），得到r 满足的条件为0.29R r R ≥≥ （23）评分标准：本题22分。

求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。

物理竞赛真题专项(2) 天体运动1．〔20届复赛〕三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A 和B ，分别将质量为M 的物体和质量为m 的待发射卫星同时自由释放，只要M 比m 足够大，碰撞后，质量为m 的物体，即待发射的卫星就会从通道口B 冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B 时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M ＝20m ，地球半径0R ＝6400 km ．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．三、参考解答位于通道内、质量为m 的物体距地心O 为r 时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为2GM mF r'=， （1）式中M '是以地心O 为球心、以r 为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以ρ表示地球的密度，此质量可以表示为343M r ρπ'=（2） 于是，质量为m 的物体所受地球的引力可以改写为43F G mr πρ= （3）sin f F θ= （4） sin xrθ= （5）θ为r 与通道的中垂线OC 间的夹角，x 为物体位置到通道中点C 的距离，力的方向指向通道的中点C 。

在地面上物体的重力可以表示为02GM mmg R = （6） 式中0M 是地球的质量。

由上式可以得到 043g G R πρ= （7）由以上各式可以求得 0mgf x R = （8）可见，f 与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为 0mgk R =（9） 物体将以C 为平衡位置作简谐振动，振动周期为2T =取0x =处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为m 的静止物体到达0x =处的速度为0v ，则根据能量守恒，有2220011()22mv k R h =- （10） 式中h 表示地心到通道的距离。

解以上有关各式，得 222000R h v g R -= （11）可见，到达通道中点C 的速度与物体的质量无关。

设想让质量为M 的物体静止于出口A 处，质量为m 的物体静止于出口B 处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点C 处，并发生弹性碰撞。

碰撞前，两物体速度的大小都是0v ，方向相反，刚碰撞后，质量为M 的物体的速度为V ，质量为m 的物体的速度为v ，若规定速度方向由A 向B 为正，则有00Mv mv MV mv -=+，（12）22220011112222Mv mv MV mv +=+ （13）解式（12）和式（13），得 03M mv v M m-=+ （14）质量为m 的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口B 处时的速度为u ，则有22220111()222k R h mu mv -+= （15） 由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得2220208()()R h M M m u g R M m --=+ （16） u 的方向沿着通道。

根据题意，卫星上的装置可使u 的方向改变成沿地球B 处的切线方向，如果u的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有20200M m u G m R R = （17）由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到h = （18）已知20M =m ，则得00.9255920km h R == （19）评分标准：本题20分。

求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。

2．〔25届复赛〕二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高22.0510n H km =⨯，远地点离地面高45.093010f H km =⨯，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。

随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。

后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。

已知卫星质量32.35010m kg =⨯，地球半径36.37810R km =⨯，地面重力加速度29.81/g m s =，月球半径31.73810r km =⨯。