高二第二学期期中考试数学试题（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、复数1i
i -的共轭复数的虚部为（ ）
A .1
B .1-
C .12
D .12
- 2、若2133a
dx a a =-+⎰，则实数a =（ ）
A .2
B .2-
C .1
D .1- 3、化简()()()()()()6
5
4
3
2
16115120115161x x x x x x -+-+-+-+-+-的结果 为（ ）
6.6A x 6.B x 6.1C x - 6.1D x + 4、函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()f x '在
(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(),a b 内有极小值点（ ）
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
5、曲线21ln 3y x x =-
在点1ln 32⎫
-⎪⎭
处切线的倾斜角的大小为（ ）
.0A o .45B o .30C o .135D o 6、如图，某人需从A 地到达B 地,图中的实线部分为可行路线，
则路程最短的走法有（ ）
A .15种
B .20种
C .25种
D .30种 7、已知()3f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则实数a 最大值
是（ ）
A .0
B .1
C .2
D .3 8、4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修一门，则恰有2人选修课程甲的的不同选法共有（ ）
A .12种
B .24种
C .30种
D .36种 9、已知33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ）
A .2-或2
B .9-或3
C .1-或1
D .3-或1 10、学校计划在5天里安排三节不同的选修课，且在同一天安排的选修课不超过2节，则不同的选修课安排方案有（ ）.
A.60 种
B.110种
C.40 种
D.120种 11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时
，
A
B
()2x f x e ex a -=-+，则函数()f x 在1x =处的切线的方程是（ ） .0A x y += .10B ex y e -+-= .10C ex y e +--= .0D x y -= 12、函数()f x 满足()00f =，其导函数()f x '的图象如右图 所示，则()f x 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）
A.1
B.43
C.2
D.83
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、若()10
2100121021x a a x a x a x -=++++L ，则3a = .
14、若()2120x i x i m ++++=有实数根，i 是虚数单位，则实数m 的值
为 .
15、若函数()()3261f x x ax a x =++++有极值，则实数a 的取值范围是 16、函数()()f x x R ∈满足()11,f =且()f x 在R 上的导函数()1
2
f x '>
，则不等式()1
2
x f x +<
的解集是 . 三、解答题（共计70分）
17、（10分）二项式32n
x x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭的展开式中，第4项的二项式系数是第3项的
二项式系数的2倍.
（1）求n 的值，并求所有项的二项式系数的和； （2）求展开式中的常数项.
18、（12分）已知函数()22ln 1.f x x x =-- （1）求()f x 的单调区间；
（2）若1,2x e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最大值.
19、（12分）将5个不同的小球全部放入3个不同的盒子中.求：
（1）恰有一个空盒的放法种数； （2）每盒不空的放法种数.
20、（12分）已知函数()32f x x ax bx c =+++在2
13x x =-=与处都取得极值.
（1）求,a b 的值
（2）若关于x 的方程()f x =m 有两个不等实根，求m 的值； （3）若对于[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求c 的取值范围. 21、（12分）某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，
另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
22、（12分）已知a R ∈，函数()ln 1.a
f x x x =+-
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间(]0,e 上的最小值.
高二第二学期期中考试数学试题（理科）答案
一、选择题（每小题5分，共60分） CBCAC ADBAD BB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、1680-； 14、2-； 15、36a a <->或 16、(),1-∞ 三、解答题（共6个小题，总计70分）
17、（1）83n =L 分；0128888
8822565C C C C ++++==L L 分. （2）8481827k k k k T C x --+=L 分，3179212T =L 分.
18、（1）增区间为()1,+∞，减区间为()0,16L 分；（2）最大值为2312e -L 分.
19、（1）322412
5
2351390C C A C C A +=（种）6L 分； （2）221333
5313532
2
150C C C A C A A ⋅+=（种）12L 分. 20、（1）1
,2,42
a b =-=-L 分；
（2）由（1）知，()321
22
f x x x x c =--+，故()232f x x x '=--，
令()20,,1;3f x x x '>-<>得或 令()2
0,13
f x x '<-<<得，
故()f x 的增区间为()2,,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
所以 ()f x 的极大值为23f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
2227c +，极小值为()312f c =-.
因方程()f x m =有两个不等实根，所以322
227
m c m c =-=+或；
…………………………8分
（3）由（2）知，()f x 在21,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上增，在2,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上减，在()1,2上增，
故()f x 在223x x =-=或处取得最大值，又23f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
2227c +，
()22f c =+，所以()f x 的最大值为2c +.
因为()2f x c <在[]1,2-上恒成立，所以22,c c >+所以12c c <->或
L L L分.
12
21、（1）若两名老师傅都不选派，则有44545C C =种；…3分
（2）若两名老师傅只选派1人，则有134143
2
5425460C C C C C C +=种；…7分 （3）若两名老师傅都选派，则有224242233
2
54254254120C C C C C C A C C ++=种. 故共有5+60+120=185种选派方法.……………………………12分
22、（1）当1a =时，()()1
ln 1,0,,f x x x x
=+-∈+∞
所以()()22111
,0,.x f x x x x x -'=-+=∈+∞
因此()12.4f '=即曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率为1
.4
又()1
2ln 22f =-，故所求的切线方程为44ln 240.x y -+-=…4分
（2）因为()()221ln 1,a a x a
f x x f x x x x x -'=+-=-+=所以
令()0,f x '=得.x a =…5分
○1若()0,0,a f x '≤>则函数()f x 在区间()0,e 上单调递增，此时函数
()f x 无最小值.……………7分
○
2若0,a e <<则当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在()0,a 上单调递减，当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在(),a e 上单调递增，
所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln .a …………9分
○
3若,a e ≥则当(]0,x e ∈时，()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，所以当x e =时，函数()f x 取得最小值.a
e …………11分
综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在(]0,e 上无最小值. ；当0a e <<时，
函数()f x 在(]0,e 上的最小值为ln .a 当a e ≥时，函数()f x 在(]0,e 上
的最小值为.a
e
……………12分。