2022届高三高考数学复习各地试卷精选专项练习03：函数及其应用【含答案】一、单选题1．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ） A ．23天 B ．33天 C ．43天 D ．50天【答案】B 【解析】根据题设条件先求出m 、a ，从而得到1101220t h =⋅，据此可求失去50%新鲜度对应的时间.【详解】1010202,10%120%20a m a m a m ⎧⎧==⋅⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，故1102a =，故1101220t h =⋅， 令12h =，∴10210,lg 2110tt=∴=，故10330.3t =≈， 故选：B.2．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式:21S C Wlog N⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.假设目前信噪比为1600,若不改变带宽W ，而将最大信息传播速度C 提升50%,那么信噪比SN要扩大到原来的约（ ） A ．10倍 B ．20倍 C ．30倍 D ．40倍【答案】D【解析】根据题意可得21600C Wlog =，()2316002C Wlog t =，两式联立，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】由条件可知21600C Wlog =， 设将最大信息传播速度C 提升50%, 那么信噪比SN要扩大到原来的t 倍， 则()2316002C Wlog t =， 所以()223160016002log log t =，即()322216001600log log t =，所以3216001600t =， 解得40t =， 故答案为：D3．（2021·广东广州市·高三一模）2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m ，创造了我国载人深潜的新记录.当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波.已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m /s ，若从发出至回收到声波所用时间为6s ，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（ ） A ．2900m B ．4350mC ．5800mD ．8700m【答案】B 【解析】可得声波从海面传到“奋斗者”号的时间为3s ，即可求出实际下潜深度. 【详解】可得声波从海面传到“奋斗者”号的时间为163s 2⨯=， 则“奋斗者”号的实际下潜深度约为145034350m ⨯=. 故选：B.4．（2021·全国高三专题练习（理））溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在7.457.35110~110--⨯⨯之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH 值的范围是（ ） A ．[7.25,7.55] B ．[7.25,7.45] C ．[7.25,7.35] D ．[7.35,7.45]【答案】D 【解析】按题设所给公式求相应的pH 值即可. 【详解】依题意，7.457.3512pH lg 1107.45,pH lg 1107.35--⎡⎤⎡⎤=-⨯==-⨯=⎣⎦⎣⎦，因此，正常人体血液的pH 值的范围是[7.35,7.45]． 故选:D ．5．（2021·江苏盐城市·高三二模）在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为0R ，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗(VN称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N-．已知新冠病毒在某地的基本传染数0 2.5,R ＝为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（ ） A ．40% B ．50%C ．60%D ．70%【答案】C 【解析】 由题意列不等式2.5()1N V N-≤，即可求出结果.【详解】 由题意可得：2.5() 1.51 2.5 2.560%2.5N V V N V N N N -≤⇒-≤⇒≥=故选：C.6．（2021·全国高三专题练习）函数ln ()x xf x x=的大致图象为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】将函数表达式化为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩，由函数奇偶性得到BC 不正确，再由特殊值得到最终结果. 【详解】 因为()(),0ln ,0lnx x x x f x ln x x x>⎧==⎨--<⎩是奇函数排除,B C ，且当1x >时，()0f x >. 故答案为A.7．（2021·山东烟台市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()()2f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则（ ）A ．()20210f =B ．2是()f x 的一个周期C ．当()1,3x ∈时，()()31f x x =-D ．()0f x >的解集为()()4,42k k k Z +∈【答案】D 【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数、()()2f x f x -=可得()f x 的最小正周期是4，即可判断A 、B 的正误，然后可得[]1,1x ∈-时，()3f x x =，然后结合条件可判断C 、D 的正误.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()2f x f x f x -==--所以()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+= 所以()f x 的最小正周期是4，故B 错误()()202111f f ==，故A 错误因为当[]0,1x ∈时，()3f x x =，()f x 是定义在R 上的奇函数所以当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，()()()322f x f x x =-=-，故C 错误因为当()0,2x ∈时，()0f x >，()f x 的最小正周期是4， 所以()0f x >的解集为()()4,42k k k Z +∈，故D 正确 故选：D8．（2021·江苏常州市·高三一模）若()316,00,0x x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．(,1][0,1][3,)-∞-⋃⋃+∞ C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．(,3][1,0][1,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】B 【解析】按1x =或0，0x <，1x >和01x <<四种情况，分别化简解出不等式，可得x 的取值范围． 【详解】①当1x =或0时，(1)0xf x -=成立；②当0x <时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥，可有()31611x x -≤-，解得1x ≤-； ③当0x >且1x ≠时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥ 若1x >，则()4116x -≥，解得3x ≥ 若01x <<，则()4116x -≤，解得01x <<所以(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞则原不等式的解为(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞， 故选：B9．（2021·山东滨州市·高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且[)12,0,x x ∀∈+∞，12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则（ ）A ．()12431log 3log 24f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()12341log log 324f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()12341log 2log 34f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()124312log 3log 4f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】由题意可知函数为奇函数，且函数在[)0,+∞上单调递增，比较自变量的大小，利用函数的单调性即可求解. 【详解】[)12,0,x x ∀∈+∞，12x x ≠时，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 所以函数在[)0,+∞上单调递增， 又函数()f x 满足()()f x f x -=-， 所以函数为奇函数，且()00f =， 所以()f x 在(),0-∞上单调递增，331log log 414=-<-，又40log 31<<，1222=， 则341log log 324<<所以()12341log log 324f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B10．（2021·山东青岛市·高三一模）若()()3log 1,02,0xx x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，不等式()12f x >的解集为（ ）A ．()()1,031,-⋃+∞B ．((),131,-∞⋃+∞C ．()()1,031-⋃D ．()),131,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】分0x ≥和0x <两种情况分别求解，再求并集即可. 【详解】 当0x ≥时，331log (1)log 313312x x x +>=⇒+>∴> 当0x <时，11221102x x x ->=⇒>-∴-<< 综上不等式()12f x >的解集为())1,031,-⋃+∞故选：A.11．（2021·山东济宁市·高三一模）已知sin 2a =，2log 0.2b =，0.22c =，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B 【解析】根据正弦函数，指数函数与对数函数的单调性，分别判定,,a b c 的范围，即可得出结果. 【详解】由sin 2a =知：sin 0sin 2sin 0sin 212π<<⇒<<，则01a <<；由2log 0.2b =知：22log 0.2log 10<=， 则0b <；由0.22c =知：00.210.2222122<<⇒<<， 则12c <<， 所以c a b >>； 故选：B.12．（2021·全国高三专题练习）已知20202021,20212020,ln 2a bc ===，则（ ）A ．log log a b c c >B ．log log c c a b >C ．c c a b <D ．a b c c <【答案】D 【解析】由题意知01,01b a c <<<<<，根据各选项并结合对应函数的区间单调性，即可判断指对数式的大小关系. 【详解】由题意知：20202021log 20211log 20200a b =>>=>，而 0ln21c <=<， ∴log c y x =在定义域内单调减，故log 0log c c a b <<，则B 错误；11log 0log log log a b c c c c a b=<<=，故A 错误； c y x =在第一象限的单调递增知c c a b >，故C 错误； x y c =定义域内单调递减，即a b c c <，故D 正确；故选：D13．（2021·全国高三专题练习）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：x2- 1- 12 3y0.24 0.512.023.988.02在以下四个函数模型（,a b 为待定系数）中，最能反映,x y 函数关系的是（ ） A ．y a bx =+ B ．by a x=+C ．log b y a x =+D ．x y a b =+【答案】D 【解析】在坐标系中画出点，根据点的特征进行判断即可. 【详解】根据点在坐标系中的特征可以知道，当自变量每增加1时，y 的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A ； 由图象不具有反比例函数特征，排除B ； 因为自变量有负值，排除C ；当自变量增加到3时，y 增加的很多，所以符合指数的增加特征，D 正确， 故选：D.14．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()()ln 2e,0,3,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则()2021f =（ ）A ．2eB ．2eC ．22e D ．22e【答案】A 【解析】先分析出0x >时()f x 的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算()1f -的值，由此求解出结果. 【详解】当0x >时，因为()()3f x f x =-，所以()()3f x f x =+，所以()f x 是周期为3的函数， 所以()()()2021367322f f f =⨯+=， 又因为()()ln 21ln 2221e f f e e e-+=-===，所以()22021f e =，故选：A.结论点睛：周期性常用的几个结论如下：（1）()y f x =对x R ∀∈时，若()()f x a f x a +=-或()()2f x a f x -=（0a ≠）恒成立，则2a 是()f x的一个周期；（2）()y f x =对x R ∀∈时，若()()f x f x a -=+或()()1f x a f x +=或()()1f x a f x +=-（0a ≠）恒成立，则2a 是()f x 的一个周期；（3）若()f x 为偶函数，其图象又关于()0x a a =≠对称，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数； （4）若()f x 为奇函数，其图象又关于()0x a a =≠对称，则()f x 是以4a 为一个周期的周期函数. 15．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若关于x 2230x x mx --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．34,,23⎛⎤⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．34,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】2230x x mx --=223x x mx -=+，在同一坐标系中作出函数22y x x =-与3y mx =+的图象，利用数形结合法求解.【详解】2230x x mx --=223x x mx -=+， 2230x x mx --=有两个不相等的实数根， 所以函数22y x x =-与3y mx =+的图象有两不同的交点， 在同一坐标系中作出函数22y x x =-与3y mx =+的图象如图所示：由图象知：当直线3y mx =+过点()2,0时，33m =-，2311m m+=+，解得43m =-， 所以实数m 的取值范围是34,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故选：D ．16．（2021·山东烟台市·高三一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P (单位：mg/L )与时间t (单位：h )间的关系式为0kt P P e -=，其中0,P k 为正常数.如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了20%,那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：20.693,5 1.609ln ln ≈≈)（ ） A ．11h B ．21hC ．31hD ．41h【答案】B 【解析】先由已知条件建立方程求得k ，再代入模型中求得时间得选项. 【详解】 由已知得10115k e --=，方程两边取自然对数得4ln 105k =-，所以2ln 2ln 50.022310k -==-，设污染物减少到最初含量的50%需要经过t 小时，则0.022312t e -=，两边取自然对数得1ln 0.02232t =-，解得31t =，所以还需要经过311021-=个小时的时间使污染物减少到最初含量的50%， 故选：B.17．（2021·山东滨州市·高三一模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2f x x =+，设函数()()2e 26x h x x --=-<<（e 为自然对数的底数），则()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据已知条件求出()f x 的周期，利用周期性和偶函数作出()f x 在区间()2,6-的图象，以及()()2e26x h x x --=-<<的图象，数形结合即可求解.【详解】因为()f x 满足()()22f x f x +=-， 所以()f x 图象关于直线2x =对称，因为()f x 是R 上的偶函数，所以()f x 图象关于直线0x =对称， 所以()f x 的周期为4，()()2e26x h x x --=-<<的图象关于直线2x =对称，由[]2,0x ∈-时，()2f x x =+，作出()f x 图象如图和()()2e26x h x x --=-<<的图象由图知()f x 与()h x 的图象在区间()2,6-有四个交点，设交点横坐标分别为1234,,,x x x x ， 且1422x x +=，2322x x +=， 所以12348x x x x +++=，所以()f x 与()h x 的图象所有交点的横坐标之和为8， 故选：D18．（2021·山东德州市·高三一模）设函数()()1xf x xe a x =--，其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，则a 的取值范围是（ ）．A ．21,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．211,e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由原不等式可得()0xx e a -<，分0,01a a ≤<<两种情况讨论，求出不等式的解，根据解集在唯一整数0x 即可求解. 【详解】由()f x a <可得x xe ax a a -+<， 化简得()0xx e a -<， 当0a ≤时，0x x e a e -≥>，故当0x <时，()0xx e a -<恒成立， 故不存在唯一整数0x ，使得()0f x a <成立，当01a <<时，令0x e a ->，解得ln x a >且ln 0a <， 所以()0xx e a -<的解为ln 0a x <<，若存在唯一整数0(ln ,0)x a ∈，则ln 1ln 2a a <-⎧⎨≥-⎩，解得211[,)a e e∈， 故选：C19．（2021·山东日照市·高三一模）如图所示，单位圆上一定点A 与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x 轴正向滚动一周，则A 点形成的轨迹为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析当单位圆向x 轴正向滚动π个单位长度时A 的纵坐标，由此判断出A 点形成的轨迹. 【详解】如图所示，记,,B C D 为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为2π，所以2AB BC CD AD π====，且圆上点的纵坐标最大值为2，当圆逆时针滚动π单位长度时，此时,A C 的相对位置互换，所以A 的纵坐标为2，排除BCD ， 故选：A.20．（2021·山东青岛市·高三一模）已知()y f x =为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】由()00f =得1a =，()1y f x =+为偶函数得()f x 关于1x =对称，故周期为4，则问题可解． 【详解】()f x 为奇函数，()00f =且()f x 关于原点对称①∵[]0,1x ∈时()()2log a f x x =+，∴()2log 00a +=，∴1a = ∴[]0,1x ∈时()()2log 1f x x =+， ∵()1y f x =+为偶函数关于y 轴对称． 则()f x 关于1x =对称②由①②可知()()()()2f x f x f x f x ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩∴()()()22f x f x f x =-=--，∴()()2f x f x +=-． ∴()()()()()42f x f x f f x f x +=-+=--=， ∴()f x 周期为4，()()220211log 21f f ===， 故选：C ．21．（2021·江苏省天一中学高三二模）定义在R 上的函数()y f x =满足()12x f x -≤，且()1y f x =+为奇函数，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】根据()1y f x =+为奇函数，得到函数关于()1,0中心对称，排除AB ，计算()21.5f ≤排除C，得到答案. 【详解】()1y f x =+为奇函数，即()()11f x f x +=--+，函数关于()1,0中心对称，排除AB .() 1.5112.52f -≤=C .故选：D .22．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】A 【解析】首先利用方程组的方法分别求函数()g x 和()h x 的解析式，令()()226xx g x ψλλ=+-，利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值()00f =，利用平移可知()10f =，求正实数λ的值. 【详解】由已知条件可知()()()()()()x xg x h x e x g x h x e x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩ 由函数奇偶性易知()2x xe e g x -+=令()()226xx g x ψλλ=+-，()x ψ为偶函数.当0x ≥时，()'2202x xxe e x ln ψλ--=+>，()x ψ单调递增，当0x <时，()x ψ单调递减，()x ψ仅有一个极小值点()0,f x ()x ψ图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，则函数只有1一个零点，即()10f =， 解得12λ=， 故选：A23．（2021·全国高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设,x R =用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74,2.32-=-=.已知()1112x x e f x e -=-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}1,0,1-【答案】C 【解析】利用常数分离法将原函数解析式化为()2112xf x e =-++，然后分析函数()f x 的值域，再根据高斯函数的含义确定()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域. 【详解】()1112121121212x x x x x e e f x e e e -+-=-=-=-++++，当0x ≥时，1x e ≥，则2101xe -≤-<+，故()2111,1222x f x e ⎡⎫=-+∈-⎪⎢+⎣⎭，故(){}1,0f x ∈-⎡⎤⎣⎦； 但0x <时，01x e <<，则2211xe -<-<-+，故()2131,1222x f x e ⎡⎫=-+∈--⎪⎢+⎣⎭，(){}2,1f x ∈--⎡⎤⎣⎦； 综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}2,1,0--. 故选：C. 【点睛】本题考查新定义函数及函数值域求解问题，解答本题的关键在于根据指数函数的性质分析清楚()1112x x e f x e -=-+的值域，然后确定()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域.24．（2021·全国高三专题练习）设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【解析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或440x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 二、多选题25．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数3()3x f x x =+，若01m n <<<，则下列不等式一定成立的有（ ）A ．(1)(1)f m f n -<-B ．()f mn f m n <+C ．()()log log m n f n f m <D ．()()nmf mf n <【答案】BD 【解析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项． 【详解】易知3()3xf x x =+是R 上的增函数，01m n <<<时，2m n mn +>1n m m n <<成立，BD 一定成立； 1m -与1n -的大小关系不确定，A 不一定成立；同样log m n 与log m n 的大小关系也不确定，如1m n=时，log log 1m n n m ==-，C 也不一定成立． 故选：BD ．26．（2021·全国高三专题练习）已知函数()22xxf x -=+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 最小值是2D ．()f x 最大值是4【答案】AC 【解析】根据函数的奇偶性，均值不等式及特值法求解即可. 【详解】()22x x f x -=+的定义域为x ∈R ,关于原点对称，又()22()xx f x f x --=+=，所以函数为偶函数，所以函数在R 上不是增函数，故A 正确B 错误；又()222222x x x x f x --=+≥⋅=，当且仅当22-=x x ，即0x =时等号成立，故C 正确； 当2x =时，(2)4f >，故D 错误. 故选：AC27．（2021·广东汕头市·高三一模）已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()tan()F x f x x π=-，在区间[1,]m -上有10个零点，则m 的取值可以是（ ）A ．3.8B ．3.9C ．4D ．4.1【答案】AB 【解析】由对称性和奇偶性得出函数()f x 是周期函数，作出函数()y f x =和tan()y x π=的图象，由图象观察得两个函数图象有10个交点时，m 的范围． 【详解】()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，又(2)()0f x f x -+=，(2)()()f x f x f x -=-=-，令t x =-得()(2)f t f t =+，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2， 又()f x 是R 上的奇函数，所以(0)(2)(4)0f f f ====，(1)0f =，所以()0f n =，n Z ∈，作出()y f x =和tan()y x π=的图象，其中tan()y x π=的周期是1T ππ==， 如图，由图可知1x ≥-时，从点(1,0)A -，10个交点依次为,,,,,,,,,A B O C D E F G H I ，点J 是第11个交点，(4,0)J ，设C 点横坐标为0x ，显然01(0,)2x ∈，211()log 244f =-=，1tan 14π⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此014x >，所以01142x <<，于是1124B x -<<-，114424I x -<<-，即3.5 3.75I x <<，所以m 可取3.8，3.9，4m ≥时至少有11个零点，故选：AB ．28．（2021·山东日照市·高三一模）已知113log 0x x +=，222log 0xx +=，则（ ） A ．2101x x <<< B ．1201x xC ．2112lg lg 0x x x x -<D ．2112lg lg 0x x x x ->【答案】BC 【解析】根据对数函数的性质可判断AB 正误，由不等式的基本性质可判断CD 正误. 【详解】由131log 0x x =->可得101x <<，同理可得201x <<， 因为(0,1)x ∈时，恒有23log log x x <所以122231log log 0x x x x -=-<，即12x x <，故A 错误B 正确； 因为1201x x ，所以12lg lg 0x x <<，即210lg lg x x <-<-，由不等式性质可得1221lg lg x x x x -<-，即2112lg lg 0x x x x -<，故C 正确D 错误. 故选：BC 三、填空题29．（2021·山东济宁市·高三一模）已知函数()()e ,02,0xx f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()5f -=______．【答案】e 【解析】根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】由()()e ,02,0x x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，得()()()()()()()5523321121f f f f f f f e -=-+=-=-+=-=-+==； 故答案为：e .30．（2021·山东枣庄市·高三二模）写出一个图象关于直线2x =对称且在[]0,2上单调递增的偶函数()f x =______.【答案】πcos 2x - 【解析】 取()πcos 2x f x -=，再验证其奇偶性、对称性、单调性即可. 【详解】 如()πcos2x f x -=，()ππcos cos ()22x x x f f x ⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭-=，即()f x 为偶函数由π,2,2x k x k k Z π==∈，当1k =时，()πcos 2x f x -=关于直线2x =对称 由[]0,2得[]0,2x ππ∈，则由余弦函数的性质可知，函数()πcos 2x f x -=在[]0,2上单调递增故答案为：()πcos 2x f x -=31．（2021·山东日照市·高三一模）若函数()()log 1a f x x a =>在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =______. 2【解析】分析函数()f x 在区间[],2a a 上的单调性，可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】1a >，所以，函数()f x 在区间[],2a a 上为增函数，由已知条件可得()3log 23log log a a a a a a ==，32a a ∴=，1a >，解得2a =2.32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5％，则赵先生每个月所要还款的钱数为______元．（精确到0.01元，参考数据()()121210.517.21310.51+≈+-％％） 【答案】430.33 【解析】本题首先可设每一期所还款数为x 元，然后结合题意列出每期所还款本金，并根据贷款5000元列出方程，最后借助等比数列前n 项和公式进行计算即可得出结果. 【详解】设每一期所还款数为x 元， 因为贷款的月利率为0.5％，所以每期所还款本金依次为10.5x+％、()210.5x +％、()310.5x +％、、()1210.5x+％，则()()()2312500010.510.510.510.5x x xx++++=++++％％％，即()()()23121111500010.510.510.510.5x ％％％⎡⎤++++=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦， ()()()()11101210.510.510.51500010.5x ％％％％⎡⎤+++++++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦， ()()121210.5150000.510.5x ％％％⎡⎤+-=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦， ()()121210.50000.5430.33105.51x ⨯=≈-++⨯％％％，小明每个月所要还款约430.33元，故答案为：430.33.33．（2021·浙江高二期末）已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________.【答案】12- 【解析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【详解】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-34．（2021·山东高三专题练习）设函数()2,12,1x x a x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若144f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =___________. 【答案】32- 【解析】 先求出1142f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再分112a -<和112a -≥两种情况，把12a -代入函数中列方程可求出a 的值 【详解】 ∵114<， ∴1112442f a a ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭. 当112a -<时，即12a >-时，1112134422f f f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1a =-，与12a >-相矛盾，应舍去.当112a -≥，即12a ≤-时，12112442a f f f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则122a -=，即32a =-，满足12a ≤-时.故答案为：32-. 35．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数的图象关于y 轴对称，且与直线y x =相切，则满足上述条件的二次函数可以为()f x =_______. 【答案】214x +（答案不唯一）． 【解析】关于y 轴对称，函数为偶函数，可以设2()f x ax c =+，然后由它与直线y x =相切可求得,a c 的关系，取特殊可得结论． 【详解】因为二次函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以可设2()f x ax c =+，由2y ax c y x⎧=+⎨=⎩得20ax x c -+=，所以140ac ∆=-=，即14ac =．取1a =，14c =，则21()4f x x =+，（答案不唯一）． 故答案为：214x +（答案不唯一）．36．（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)【答案】()log 1a x a >型的都对 【解析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在(0,)+∞上单调递增，又1122log log log a a a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（0a >且1a ≠，12,0x x >）即可得解；【详解】解：对于任意实数1x ，2x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，说明该函数在(0,)+∞上单调递增，又对数函数满足运算性质：()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故可选一个递增的对数函数：()log 1a y x a =>． 故答案为：()log 1a y x a =>．37．（2021·山东高三专题练习）已知函数()32xf x x a =++在[]1,2上的最大值是6，则实数a 的值是___________.【答案】9a =-或6a =- 【解析】对a 进行分类讨论，结合函数的单调性和最值，求得a 的值. 【详解】不妨设()f x 的定义域为[]1,2，当0a ≥时，()()3212xf x x a x =++≤≤，()322221212f a a =++=+≥，不符合题意.当0a <时，设()()3212xg x x x =+≤≤，()g x 在区间[]1,2上递增，值域为()()1,2g g ⎡⎤⎣⎦，即[]3,12.即33212x x ≤+≤.33212x a x a a +≤++≤+，而33a +<，312a a +<+，32x a y x =++在[]1,2上为增函数，故要使函数()32xf x x a =++在[]1,2上的最大值是6，则36126a a +=-⎧⎨+≤⎩或12636a a +=⎧⎨+≥-⎩，所以9a =-或6a =-.故答案为：9a =-或6a =-38．（2021·山东枣庄市·高三二模）2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破、为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策.（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠.该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元； 方案二：一次性付款购买.若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省______元. 【答案】700 【解析】根据方案一先判断出两次实际付款3150元与4850元对应的原价，然后根据两次的原价可计算出方案二的实际付款，由此可计算出所节省的钱. 【详解】 因为3150=350050000.9<且31502000>，所以实际付款3150元对应的原价为3500元， 又因为485050000.9>⨯，所以实际付款4850元对应的原价大于5000元， 设实际付款4850元对应的原价为()5000x +元， 所以50000.90.74850x ⨯+⨯=，解得500x =， 所以两次付款的原价之和为：350055009000+=元，若按方案二付款，则实际付款为：50000.940000.77300⨯+⨯=元， 所以节省的钱为：()315048507300700+-=元， 故答案为：700.39．（2021·河北唐山市·高三二模）有以下三个条件：①定义域不是R ；②值域为R ；③奇函数；写出一个同时满足以上条件的函数()f x =__________．【答案】tan y x =，或1y x x =-或1,01,0x x y x x +<⎧=⎨->⎩等【解析】列举出满足三个已知条件的函数即可. 【详解】满足已知的函数为tan y x =，或1y x x =-或1,01,0x x y x x +<⎧=⎨->⎩等.（答案不唯一） 故答案为：tan y x =，或1y x x =-或1,01,0x x y x x +<⎧=⎨->⎩等.（答案不唯一）40．（2021·山东日照市·高三一模）已知函数()1331x x f x a++=+（3a ≥），若对任意1x ，2x ，3x R ∈，总有()1f x ，()2f x ，()3f x 为某一个三角形的边长，则实数a 的取值范围是______.【答案】[]3,6 【解析】由题意可得，对1x ∀，2x ，3x R ∈，总有()()()123f x f x f x +>恒成立，转化为()()min max 2f x f x >，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对1x ∀，2x ，3x R ∈，总有()()()123f x f x f x +>恒成立， 只需()()min max 2f x f x >()13333131x x x a a f x ++-==+++，①当3a =时，()3f x =，满足题意；②当3a >时，()f x 在R 上单调递减，()3f x a <<，故需23a ⨯≥，即36a <≤； 综上所述，a 的取值范围是[]3,6． 故答案为：[]3,641．（2021·广东深圳市·高三一模）冈珀茨模型()tby k a =⋅是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当0t =时，表示2020年初的种群数量），若()*m m ∈N年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则m 的最小值为_________.(ln20.7)≈ 【答案】6 【解析】 依题意得0.1251.4 1.40012me k e k e -⋅⋅<通过计算化简得 5.6m >，则问题可解． 【详解】令t m =由题意知，0.12501.4 1.4 1.40001122me e k ek e k e -⋅⋅⋅<=，所以0.1251.4 1.42me e --< 得()0.1251.41ln 20.7me-->≈， 则0.125112m e -->所以0.12512me-<，解得ln 20.75.60.1250.125m >≈=，所以m 的最小值为6 故答案为：6 四、双空题42．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的偶函数且()01f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2021f =________．()411n i f i -==∑_____________．【答案】0 -1 【解析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到()()f x f x =-，()()g x g x =--，然后结合()(1)g x f x =-，灵活变形后求出函数()f x 的周期，再根据()g x 是定义在R 上的奇函数，得(0)0g =，从而得到()1f ，()2f ，()3f ，根据函数的周期性计算可得；． 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x =-，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()g x g x =--， (1)(1)f x f x -=---，所以()((1)1)((1)1)(2)(2)f x f x f x f x f x =+-=--+-=---=-+， 则(2)()f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=， 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数．因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0g =，由()(1)g x f x =-，取0x =，得：()()()1100f f g =-==， 又(0)1f =，所以(2)(0)1f f =-=-，()()310f f =-= 所以()()()()()123401010f f f f +++=+-++=所以()()()()()414243401010f n f n f n f n ++++++=+-++=，()n Z ∈所以()()202110f f ==所以()411n i f i -=∑()()()()()()()()()()()12345678434241f f f f f f f f f n f n f n =+++++++++-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()000101=++++-+=-⎡⎤⎣⎦．故答案为：0；1-．。