实验六 多元函数微分法及其应用
6.1 实验目的
掌握利用Mathematica 软件计算偏导数、全微分、空间曲线的切线与法平面、
曲面的切平面与法线、二元函数的等值线、多元函数极值的方法； 通过实验进一步熟悉多元函数微分法及其应用的有关内容。

6.2 实验内容
一、 偏导数
实验题1 求.tan ln y
x z =的偏导数。

[实验]输入：
即有：
.2csc 2,
2csc 22
y
y
x x y
z y
y
x x
z -=∂∂=∂∂
实验题2 验证函数nx e
y t
kn sin 2-=满足方程：22x
y
k t y ∂∂=∂∂。

[实验]输入：
y @x _,t_D :=ã-k
n 2t
Sin @n x D ;
D @y @x ,t D ,t D -k D @y @x ,t D ,x,x
D
得结果：0
即有：22x
y
k t y ∂∂=∂∂。

二、 全微分
实验题3 计算函数yz x u =的全微分。

[实验]输入：
u @x _,y_,z_D :=x y z ;Dt @u @x ,y,z
D
得结果：
@D 即有：.ln ln 1xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ++=-
三、 多元复合函数的求导 实验题4 ..23,,ln 2y
z
x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===和求而设 [实验]输入：
得结果：
即有：
.)23(2)23ln(2)23(3)23ln(22
2
322
2
2y y x x y x y x y z y y x x y x y x x z ----=∂∂-+-=∂∂
四、 空间曲线的切线与法平面
实验题5 画出曲线 ..2sin 4,cos 1,
sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=-=t
z t y t t x 在点)22,1,12(-π
处的切线及
法平面。

[实验]输入：
得结果：91,1, !!2
=
再输入：
得结果：
五、 曲面的切平面与法线
实验题6 求曲面3=+-xy z e z 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。

[实验]（1）输入：
F @x _,y_,z_D :=ãz -z +x y -3;a =¶x F @x ,y,z D .8x ®2,y ®1,z ®0<b =¶y F @x ,y,z
D .8x ®2,y ®1,z ®0
<c =¶z F @x ,y,z
D .8x ®2,y ®1,z ®0<Simplify @a H x -2L +b H y -1L +c H z -0
L D
得结果：1 2
-4+ x+2 y
即有：切平面方程为 x + 2 y – 4 = 0 法线方程为 .0
2112-=-=-z y x
六、 二元函数的等值线
实验题7 作出二元函数z=ln(x+y)的等值线。

[实验]输入：
ContourPlot[Log[x+y],{x,0.1,5},{y,0.1,5}]
得结果：
七、 多元函数的极值
实验题8 求二元函数f(x,y)=4(x - y) - x 2 - y 2的极值。

[实验]输入：
f @x _,y_D :=4 H x -y L -x 2-y 2;
Solve
@8¶x f @x ,y D 0,¶y f @x ,y D 0<,8x ,y
<D
得结果：{{x →2,y →-2}} 再输入：
A =¶x,x f @x ,y
D .8x ®2,y ®-2<;
B =¶x,y f @x ,y D .8x ®2,y ®-2<;c =¶y,y f @x ,y D .8x ®2,y ®-2<;
A c -
B *B f @2,-2
D
得结果：-2
0 -2 4
8
即函数f(x,y)可能的极值只有一个点：（2，-2），又因为在该
点处有：Ac-B 2=4>0且A=-2<0
故点（2，-2）就是函数f(x,y)唯一的极值点且是极大值点，f(x,y)的极大值为f(2,-2) = 8 .
实验题9 求三元函数f(x ，y ，z)=xyz 满足条件:x>0,y>0,z>0,
7
1
111=++z y x 的最小值。

[实验]输入：
得结果：{9261,{x →21,y →21,z →21}}
即当x = y = z = 21时，函数f(x,y,z)有最小值：9261.
评分 指导老师。