第十章 曲线积分和曲面积分（A ）1、计算下列对弧长的曲线积分 1）ds y x n L)(22+⎰，其中：)20(sin ,cos :π≤≤==t t a y t a x L2）,xds L⎰其中围成及为由2x y x y L == 3）,2yzds x T⎰其中T 为折线ABCD ，这里A ，B ，C ，D 依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2） 4）,)(22ds y x L+⎰其中L ：)20(),cos (sin ),sin (cos π≤≤-=+=t t t t a y t t t a x2 、计算下列对坐标的曲线积分 1）,)(22dx y x L-⎰其中L 是2x y =上从（0，0）到（2，4）的一段弧2）,xydx L⎰其中L 是222)(a y a x =+-及x 轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向） 3）,ydz dy dx T+-⎰其中T 为有向闭折线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1） 4）dy xy y dx xy x L)2()2(22-+-⎰，其中L 是2x y =上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分 1）,)635()42(dy x y dx y x L-+++-⎰其中L 为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界 2）,)2sin ()sin 2cos (222dy ye x x dx e y x xy x y x x x L -+-+⎰其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x3）,)3sin 21()cos 2(2223dy y x x y dx x y xy L+-+-⎰其中L 为抛物线22y x π=上由（0，0）到（)1,2π的一段弧4、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某个),(y x u 的全微分，并求这样的),(y x u1）dy y x dx y x )2()2(+++2）dy y x x y dx x y y x )sin sin 2()cos cos 2(22-++5 、计算下列对面积的曲面积分 1）⎰⎰∑++,)342(ds z y x 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分 2）⎰⎰∑++,)(ds xz yz xy 其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分 1）⎰⎰∑,22zdxdy y x 其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧 2）⎰⎰∑++,yzdzdx xydydz xzdxdy 其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分 1）⎰⎰∑++,333dxdy z dzdx y dydz x 其中∑为球面2222a z y x =++的外侧 2）⎰⎰∑++,zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为界于3,0==z z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧8 、 求下列向量的散度1）k xy z j xz y i yz x A )()()(222+++++=ϖ 2）k xz j xy i e A xy)cos()cos(2++=ϖ9、求下列向量场A 的旋度1）k x y j z x i y z A )2()3()32(-+-+-=ϖ2）j y x z i y z A )cos ()sin (--+=ϖ(B)1、一段铁丝成半圆形22x a y -=，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量. 2、 把xdy ydx x L-⎰2化为对弧长的曲线积分，其中L 为2x y =从点A （-1，1）到B （1，1）的弧段. 3、把xzdz yzdy xyzdx ++⎰Γ化成对弧长的曲线积分，其中Γ为曲线32,,t z t y t x ===0()1≤≤t 一段弧.4、求心形线t a t a y t a t a x 2sin sin 2,2cos cos 2-=-=所围图形的面积.5、求dy y xy x ye dx y xy x e y x x L)322()23(22222-++++++⎰，其中：L 为21x y -=从A （1，0）到B （0，1）.6、 把⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz 化为对面积的曲面积分，其中1）∑是平面632=+-z y x 在第二卦限部分上侧2）∑是222y x a z --=上侧7 、,2)()(22 zdxdy dzdx zx y dydz yz x +-+-⎰⎰∑其中∑为锥面)0(122≥+-=z y x z 的上侧. 8、dz y x dy x z dx z y )()()(222222-+-+-⎰Γ，其中Γ为柱面122=+y x 与平面1=++z y x 的交线，从z 轴正向看Γ为逆时针方向.（C ）1、 计算,)()()(dz y x dy x z dx z y I L -+-+-=⎰其中：L ：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,1222hza x a y x （),0,0>>h a 从X 轴正向看去L 为逆时针. 2、 已知曲线积分,)3(33dy x x dx y I L-+=⎰其中L 为)0(222>=+R R y x 正向，求（1） R 为何值时0=I ; （2） 求I 的最大值. 3 、计算=I [][][]dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f +++++⎰⎰∑),,(),,(2),,(,其中：),,(z y x f 连续，∑为1=+-z y x 在第Ⅳ卦限部分的上侧.第十章 曲线积分和曲面积分习 题 答 案（A ）1、1）122+n aπ 2))12655(121-+ 9)3( )21(2)4(232ππ+a 2、1）1556- 2）32a π- 3）21 4）1514-3、 12)1 0)2 4)32π 4、2221221)1y xy x ++ y x x y cos sin )222+ 5 、614)1 421564)2a 6 、71052)1R π 81)2 7、 5512)1a π π81)2 8、 z y x divA 222)1++= )sin(2)sin()22xz xz xy x yedivA xy--=9、k j i rotA 642)1++= j i rotA +=)2（B ）1、提示：222:,2x a y L a yds m L-===⎰，上半圆22a2、提示：222412sin ,411cos ,2tan ,2,:xx xx x y x y L +=+==='=αααds xx y ds xx xxyx xdy ydx x LL L22222241)2()412411(+-=+-+=-⎰⎰⎰3、提示：,3,2,1,,,232t z t y x t z t y t x t t t ='='='===42342429413cos ,9412cos ,9411cos t t t tt t tt ++=++=++=γβα，⎰⎰⎰++=++++=++Γds tt xyzds tt xz t tyz xyz xzdz yzdy xyzdx 424229416941324、2621a ydx xdy s L π=-=⎰ 5、连OA ，OB ，（O （0，0）），使OA ，OB ，L 构成41圆周，τ于是⎰⎰⎰∂∂-∂∂=Dd y P x Q στ)(=0而1,1)3(,13210210-=∴-=-===⎰⎰⎰⎰⎰L B O AO dy y dx x 6、{},3,2,1)1-=h ϖ143cos ,142cos ,141cos =-==γβαds R Q P ds R Q P )32(141)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰∑∑+-=++=γβα 2）,,2222z y z z x yx a xz y x -=-=---=,1,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧=z y z x h ϖ,,,cos 222222222⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=z y x z z y x y z y x x α ⎰⎰⎰⎰∑∑++++=ds zy x R Q P z y x 222(。

7、设⎩⎨⎧==+∑01:221z y x 下侧，则1∑+∑ 构成闭曲面，于是：⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑Ω=++=132)22(πdv z y x ，而⎰⎰⎰⎰∑∑=∴=π32,0。

8、⎰⎰⎰∑Γ---∂∂∂∂∂∂=222222cos cos cos y x x z z y z y x γβαds ， {}31cos cos cos ,1,1,1====γβαh ϖ，⎰⎰⎰∑Γ------=∴ds z x y x z y )222222(31⎰⎰⎰⎰∑∑-=++-=ds ds z y x 34)(34，34-=π43-=⎰⎰∑dxdyC1解：:L 参数方程为,20)cos 1(sin cos π≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-===t t h z ta y t a x []{[]⎰--+---=π20cos sin )cos 1()sin ()cos 1(cos t a t a t h t a t h t a I})(2sin )sin (cos h a a dt t h t t a +-=-+π 另解：用stokes 公式： ⎰⎰⎰⎰∑∑++-=++-=ds dxdy dzdx dydz I )cos cos (cos 22γβα，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧++==2222,0,cos ,cos ,cos h a hha ah γβαϖ， ⎰⎰∑+-=++-=)(2222h a a ds ha h a I π2、解：⎰⎰⎰⎰--=∂∂-∂∂=DDdxdy y x d y Px Q I )333()(22σ ⎰⎰-=-=ππθ20222)21(3)1(3R R rdr r d R，2)1(=∴R 时,0=I ,1,0)1(6)2(2==-='R R R I ππ23,1max ==∴I R 3、解：平面∑的法向量{}1,1,1-=h ϖ，则,31cos ,31cos ,31cos =-==γβα[][][]ds z z y x f y z y x f x z y x f I ⎰⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-+=∴),,(31),,(231),,(31 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===+-=2133131)(31dxdy ds ds z y x xyD。