xC
1 m'
xdm
yC
1 m'
ydm
zC
1 m'
zdm
说明 对密度均匀、形状对称的物体，质
心在其几何中心．
第三章 动量守恒和能量守恒
4
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例1 水分子H2O的结构如图．每个氢原 子和氧原子之间距离均为d=1.0×10-10 m，氢 原子和氧原子两条连线间的夹角为θ=104.6o.
18
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例4 长为 L= 4m ，质量M=150kg的船 ，静 止在湖面上。一质量M=50kg的人，从船头走 到船尾，如图。求人和船相对湖岸各移动的 距离，忽略阻力。
第三章 动量守恒和能量守恒
19
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
解法一：动量守恒。选人和船为系统，水平
x2 2xC
第三章 动量守恒和能量守恒
15
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例4 用质心运动定律 来讨论以下问题．
y F
一长为l、密度均匀的
柔软链条，其单位长度的质
量为 ．将其卷成一堆放在
地面． 若手提链条的一端，
y c
yC o
以匀速v 将其上提．当一端
被提离地面高度为 y 时，求手的提力．
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
一 质心
1 质心的概念
c
c
c
➢ 板上C点的运动 c
c
轨迹是抛物线
c
c
➢ 其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
2 质心的位置
y m2 ri mi
由n个质点组成 的质点系，其质心
r2
o
rc c r1 m1
求水分子的质心．
yH
d oC Od
H
52.3o
x
52.3o
第三章 动量守恒和能量守恒
5
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
解 yC=0
n
xC
mi xi
i 1
m i
mHd sin 37.7o mO 0 mHd sin 37.7o mH mO mH
xC 6.810 12 m
rvC
6.8
的位置：
x
z
rC
m1r1 m2r2 miri m1 m2 mi
n miri
i 1
m'
第三章 动量守恒和能量守恒
2
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
质心位置的确定 （由质点系动量定理）
v
F exdt d (
n
mi vvi )
v
F ex
d(
n
i1
mi vvi ) / dt
m'vC n mivi n pi
i 1
i 1
再对时间 t 求一阶导数，得 m'aC
n
d(
pi )
i 1
dt
第三章 动量守恒和能量守恒
12
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
根据质点系动量定理
n dpi i1 dt
n Fiex
i 1
（因质点系内 n Fiin 0 ）
i 1
F ex
方向动量守恒。设V 和 u分别表示任意时刻
船和人相对岸的速度。向右为正，由动量
1012
v i
m
yH
d oC Od
H
52.3o
x
52.3o
第三章 动量守恒和能量守恒
6
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心.
y
Rsin θ
Rdθ
R θ dθ O
Rcos θ
x
解 选如图所示的坐标系． 在半球壳上取一如图圆环
第三章 动量守恒和能量守恒
7
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
➢ 圆环的面积 ds 2πRsin Rd
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
➢ 圆环的质量 dm 2πR2 sin d
由于球壳关于y 轴对称，故xc= 0
第三章 动量守恒和能量守恒
8
物理学
第五版
Байду номын сангаас
3-9 质心 质心运动定律
y
Rsinθ Rdθ
R θ dθ O
它们同时落地．问第二个碎片落地点在何处?
第三章 动量守恒和能量守恒
14
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
解 选弹丸为
一系统，爆炸前、
后质心运动轨迹不
变．建立图示坐标 2m
系， m1 m2 m x1 0
m1
m2
O xC C x2 x
xC为弹丸碎片落地时质心离原点的距离
xC
m1x1 m2 x2 m1 m2
Rcosθ
x
yC
1 m'
ydm
y 2πR2 sind 2πR2
第三章 动量守恒和能量守恒
9
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
而 y R cosθ
y
Rsin θ Rdθ
R θ dθ O
Rcosθ
x
π
其所质以心yC位矢R：r0C2
cos
R
sin
2j
d
R
2
第三章 动量守恒和能量守恒
10
m'
dvC dt
m'aC
作用在系统上的合外力等于系统的总
质量乘以质心的加速度——质心运动定律
第三章 动量守恒和能量守恒
13
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第五版
3-9 质心 质心运动定律
例3 设有一
质量为2m的弹丸,
从地面斜抛出去,
它飞行在最高点 处爆炸成质量相 等的两个碎片，
2m
m
m
O
C
x
其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，
第三章 动量守恒和能量守恒
16
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第五版
3-9 质心 质心运动定律
解 建立图示坐标系 链条质心的坐标yc是变化的
y F
mi yi λy y λ(l y) 0
yc i
mi
2
λl
i
y2
2l
y c
yC o
竖直方向作用于链条的合外力为 F yg
第三章 动量守恒和能量守恒
17
物理学
第五版
i1
d 2 n r
= m dt 2 ( i1 miri / m)
=
m
d2 dt 2
r rC
r maC
n
m mi i1
第三章 动量守恒和能量守恒
3
物理学
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3-9 质心 质心运动定律
➢对质量离散分布的物系：
n
mi xi
xC
i 1
m'
n
mi yi
yC
i 1
m'
n
mizi
zC
i 1
m'
➢对质量连续分布的物体：
3-9 质心 质心运动定律
由质心运动定律有
F
yg
l
d2 yC dt 2
而
d2 yc dt 2
1 l
(
dy dt
)2
y
d2 dt
y
2
考虑到
dy dt
v , d2 dt
y
2
dv dt
0
y F
y c
yC o
得到
F
yg
l
d2 yC dt 2
l v2
l
F yg v2
第三章 动量守恒和能量守恒
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
二 质心运动定律
rC
n miri
i 1
m'
z
y m2 ri mi
r2
rC
c r1
m1
o
x
mrC n miri i 1
第三章 动量守恒和能量守恒
11
物理学
第五版
3-9 质心 质心运动定律
m'rC n miri
i 1
上式两m边'对dr时C 间
dt
itn1求m一i d阶drti导数，得