椭圆的定义及几何性质一、复习目标：1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1．定义：①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )．②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。
定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。
③,,a b c 之间的关系 。
2．标准方程及几何性质：（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。
（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。
3.椭圆参数的几何意义（如图）：（1）12PF PF += ，（2）12PM PM += ， （3）1212||||||||PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ；（5）1221A F A F == ；（6） 1PF ≤≤ ；（7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ；（8）21F PF ∆中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122F PF θ∠=，则12PF F S ∆= ，三、例题分析： 题型1．椭圆的定义例1．下列说法中，正确的是（ ）A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆C ．方程()2222210x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()222210,0x y a b a b+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆练习1：1F ，2F 是定点，126FF =，动点M 满足126MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆题型2．椭圆的标准方程例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率为22，准线方程为8±=x ； （2）长轴与短轴之和为20，焦距为54练习2：已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．题型3．椭圆的焦距例3．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．1B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+练习3：椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）A ．5B ．3C ．1或3D ．不存在题型4．求椭圆的的离心率例 4. 已知1F 为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当11PF F A ⊥，//PO AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.练习4：椭圆的中心是原点O O ，它的短轴长为22，相应于焦点(,0)F c （0c >）的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；题型5．椭圆的弦长问题例5．若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为22，且OA OB ⊥，求椭圆的方程.练习5：已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP OQ ⊥，102PQ =，求椭圆方程.题型6．椭圆弦中点问题例6．求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程. 解: 设椭圆方程 22221y x a b+=（0a b >>），直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，练习6：直线l 过点(1,1)M ，与椭圆22143x y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程。
三、达标练习一1．与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )A ．2212520x y += B ．2212025x y += C ．2212045x y += D ．2218085x y += 2．若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)22-，则椭圆方程是（ ）A ．22184y x += B ．221106y x += C ．22148y x += D ．221106x y += 3．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是172，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．165B ．665C ．758D ．7784．直线y x =与椭圆2214x y +=相交于A B 、两点，则AB =（ ） A ．2B ．455C ．4105D ．81055．椭圆2214x y +=的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF = （ ）A ．32B ．3C ．72D ．46．椭圆221123x y +=的右焦点为2F ，点P 在椭圆上，且线段2PF 的中点M 在y 轴，那么点M 的纵坐标是（ ） A ．34±B ．32±C ．22±D ．34±7．椭圆13422=+y x 上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为 。
8．已知1F 、2F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，A 、B 为过1F 的直线与椭圆的两个交点，则2ABF ∆的周长是____________9．椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P点的坐标是_______________10．椭圆12222=+by a x 焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上的任一点，M 为1PF 的中点，若1PF 的长为s ，那么OM 的长等于____________11．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．12． 已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC ⋅= ，2BC AC = ，（1）求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点P 、Q ，使PCQ ∠的平分线垂直AO ，是否总存在实数λ，使PQ AB λ=？请给出说明．四、达标练习二1．如果椭圆1162522=+y x 上的点A 到右焦点的距离等于4，那么点A 到两条准线的距离分别是 ( ) A ．8、320 B ．10、320C ．10、6D ．10、82．椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A ．3 B ．23 C ．33D ．以上都不对 3．P 为椭圆14522=+y x 上的点，1F 、2F 是两焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A ．3316 B ． )32(4- C ． )32(16+ D ． 16 4．过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（ ） A ．32 B ．22C ．21D ．325．已知1F 、2F 是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，则2MNF ∆的周长为（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 25 D ． 326．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A ．95 B ．3 C ．977D ．94 7．椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点(2,1)，则它的方程是_____________.8．如图1F 、2F 分别为椭圆12222=+by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为3的正三角形，则2b 的值是___ _.9．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 __________.10．圆心在y 轴的正半轴上，过椭圆14522=+y x 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为 ____________.AB 2PF 2F 1oyx11．在直角坐标平面内，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ，动点P 到点A 的距离为8，线段BP 的垂直平分线交AP 于点Q（1）求点Q 的轨迹T 的方程；（2）若过点B 且方向向量为(1,3)-）的直线l 与（1）中的轨迹T 相交于M 、N 两点，试求AMN ∆的面积．12．已知椭圆的焦点是1(1,0)F -、2(1,0)F ,P 为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和||2PF 的等差中项.（1）求椭圆的方程；（2）若点P 在第三象限，且12120PF F ∠= ，求21tan PF F.一、课前练习：1.椭圆x 2+ 8y 2=1的短轴的端点坐标是 ( A ) A.(0,-42)、(0,42) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-22,0) D.(0,22)、(0,－22)2.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 ( C ) A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5514 3.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 ( D ) A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1422=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x 二、典例：例1.求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．变式练习1：求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x 2+4y 2-100=0，(2)x 2+4y 2-1=0．例2．（1）求椭圆2244x y +=和2244x y +=的准线方程；（2）已知椭圆22925900x y +=上的点P 到它的右准线的距离为8.5，则P 到左焦点的距离为 11.5 ； （3）椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，准线方程为18y =±，椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14，则椭圆的方程是 ．三、巩固练习：1.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是 ( A ) A.13422=+y x B.1342=+y x C.1342=+y x D.1342=+y x 2.椭圆12222=+ay b x (a >b >0)的准线方程是 ( B ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222ba a y +±= 3已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是 （ B ）A ．516B ．566C ．875D ．877 4．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22D ．10 5．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ） A ．25 B ．27 C ．3 D ．4 6．已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．答案：课前练习：1.A 2.C 3.D.例1.2a=10,2b=8,e=53=a c ，F 1（-3,0）F 2（3,0），A 1（-5,0）,A 2（5,0）B 1（0,-4）,B 2（0,4）. 例2．(1)2433a y c =±=±,(2)686620105-=,(3)22114480y x += 巩固练习：1.D 2.B 3.B 4. D 5.C6.[解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21， 即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为192522=+y x 12222=+b y a x。