教学内容探寻“勾股数”
教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数
过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣
教学重点勾股数的特征
教学难点利用勾股数特征构造勾股数
教具学具多媒体课件白板
教学过程教师活动学生活动设计意图
一、数学史，引入新课一、勾股定理史
中国古代
勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在
直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫
勾，长者叫股）平方的和．”
约在公元前100年成书的我国现存最古的一
部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100
多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了
“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载
的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般
方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给
出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股
定理，不少人把该定理称之为商高定理．
国外
在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家
外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、
埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达
哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明
勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。

阅读PPT，感
受勾股定理。

生活中蕴藏
着很多有趣
的知识，从中
外数学史引
入，鼓励学生
善于观察，激
发探索学习
的乐趣。

二、数学活动探索
1.活动引入
满足关系的3个正整数，
问题：
1.勾股数有多少？
2.请尽可能多地写出来。

3.勾股数有规律吗？
齐答勾股数概
念
学生随机作
答，并展出，
问题3进行探
索。

回顾勾股数
概念
三个问题，逐
层递进，引出
本节课的研
究内容勾股
数特征。

二. 师生互动探索研究
2.活动1
设是一组勾股数
将学生所写的勾股数随机选取，放在屏幕上。

为了便于研究勾股数，相同整数倍的勾股数，
研究时只选择最小的那一组，下面来选取合适的勾
股数。

提问：请观察勾股数组，有何发现？
活动2
设是一组勾股数，填表
表1
表2
规律一
表1，a为奇数，正整数b,c之间的关系：b=c-1
a,b,c之间的关系：a2＝b＋c
规律二
学生组内分
析，提出探索
方法。

与学生一起选
择勾股数组进
行探究。

学生根据奇
数，偶数的角
度去研究。

学生小组提出
所发现的规律
从特殊的勾
股数慢慢发
现其中的规
律。

去除整数倍
的勾股数，更
利于探究。

通过表1和2
的分类，慢慢
得到勾股数
的两个特征。

揭示规律一
如果a 是一
个大于1的奇
数，b，c 为
两个连续自
然数，且有
a2＝b＋c，则
为一组勾股
数．如3、4、
5是一组勾股
数，且有32
＝4＋5，
规律二
a为偶数2n,
正整数b,c之
表2，a为偶数 2n ，
正整数b,c之间的关系： c-b=2
a,b,c之间的关系： b= n²-1 c= n²+1
活动3 构造勾股数
例 3，4，5是一组勾股数，那么
6，8，10；9，12，15也是一组勾股数
方法1：如果a，b，c为一组勾股数，则na，nb，
nc也是一组勾股数，其中n为自然数。

方法2：构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使
它们满足“两个数的平方和（或差）等于第三个数
的平方”，即满足以下形式：
要满足上述形式不妨从乘法公式入手.我们已经知
道：
③
如果等式右边也能改写成，即可。

思考：
一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用
（n为任意正整数）表示勾股中的最
大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？
已知勾股数再
构造勾股数，
利用倍数关
系。

教师引导，帮
助学生改写
4xy,使得它是
平方形式即
可。

学生思考，合
作交流完成解
答
间的关系：
c-b=2
a,b,c之间的
关系：
b= n²-1
c= n²+1
方法1，学生
可以快速构
造
方法2，很多
学生可以理
解乘法公式
的变形，但是
对于改写4xy
的思想存在
问题，利用整
体换元的方
式，引导。

利用方法2可
以构造更多
勾股数。

利用所学知
识，完成思考
题，对前面的
再巩固
三、归纳总结知识回顾课堂小结
白板上显示三个规律
学生回顾，积
极思考，踊跃
发言。

培养学生归
纳总结的能
力。