自信是成功的起点，坚持是成功的终点！七年级数学个性化培优讲义第五讲：勾股定理任课教师：张修伟数学学科辅导讲义授课对象授课时间教学目标掌握勾股定理的公式及应用教学重点和难点勾股定理的应用考点分析勾股定理的应用教学流程及授课详案第五讲勾股定理知识点归纳1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13时间分配及备注3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线☆ Round 1 ☆ 小试牛刀（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为4.已知,0)10(8262=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是5.在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为_____________．6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm ，正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm ，则正方形D 的面积是_______cm 2.7.如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.8.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于9.如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、25B 、23C 、25+2D 、23+210.直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）A 、61B 、71C 、81D 、91 11.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

12.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12+n （n >1）试说明：∠C=︒90。

☆ Round 2 ☆ 考试必备（二）、实际应用： 1. 梯子滑动问题：（1）一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将向左滑动 米（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m ，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米862. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：（1）直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列式子总能成立的是（ ） A. 2b ab = B. 2222h b a =+ C.h b a 111=+ D. 222111hb a =+ 变：（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。

求证：（1）222111hb a =+ （2）hc b a +<+（3）以h c h b a ++，，为三边的三角形是直角三角形3. 爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，得到1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图a ，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连结AE 、1EC ，昆虫乙如果沿途径1C E A →→爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b 中画一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b ，假设昆虫甲从点1C 以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿C C 1向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点1C 沿棱C C 1向顶点C 爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间DABC图b图aADCBA1B1C1D1D1C1B1A1BCDA2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD 上的点F 距地面的高FD=8㎝，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，要爬行的最短路线是 cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 分米？4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从点A 爬到点B ，则它走过的路程最短为（ ）A. a 3B. ()a 21+ C. a 3 D.a 54.折叠问题：1.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于（ ） A.425 B. 322 C. 47 D. 35 2. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。

3. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

4.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B 、C 两点，在江对岸取一点A ，使AC 垂直江岸，测得BC ＝50米，∠B ＝60°，则江面的宽度为 。

BAQNMP5、求边长问题1.在R t ABC ∆中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=︒90①已知：a =6，c =10，求b ； ②已知：a =40，b =9，求c2.如图，P 是矩形ABCD 内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.3．等边三角形ABC 内一点P ，AP ＝3，BP ＝4，CP ＝5，求∠APB 的度数．6.已知：在Rt △ABC 中，BC ＝AC ，P 为△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2。

求 ∠BPC 的度数。

6、方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？MA B N2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．(1)此时轮船离开出发点多少km?(2)若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?3.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。

假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？4.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向ABC D100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？7、旋转问题：1.如图，点P 是正△ABC 内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC 绕点A 旋转后，得到△AB P '，则点P 与点P ’之间的距离为 ，∠APB=2.如图，∆ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=︒90，将∆ABH 绕点A 逆时针旋转到∆AC H '处，若AH=3㎝，试求出H 、H '两点之间的距离。

3.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，将∆ABP 绕B 顺时针旋转︒90到∆CBE 的位置，若BP=a ，求：以PE 为边长的正方形的面积4.已知直角三角形ABC 中，∠ACB=︒90，CA=CB ，圆心P'ABCPEBACM N F角为︒45，半径长为CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE 、CF 分别与直线AB 交于点M 、N ，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，试说明MN 222BN AM +=的理由。

5.如图所示，已知在∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=︒90，D 是BC 上任一点，求证：BD 2222AD CD =+。

6.在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。