几种常见的数列的通项公式的求法一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n na（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。

二、公式法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ，解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d ，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

例 4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式。

解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ，∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、 叠加法例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。

解 易知,121-=--n a a n n ∵,312=-a a ,523=-a a ,734=-a a ……,121-=--n a a n n各式相加得)12(7531-++++=-n a a n ∴)(52N n n a n ∈+=点评：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，只要)()2()1(n f f f +++ 能进行求和，则宜采用此方法求解。

例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ，将以上各式相加得：1)2()1(1+⋅⋅⋅+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以n a =32)1(+-n n四、叠乘法例7：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ，1a a n=12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅所以na n1=例8. 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n na n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

解析：首先由nn a n n S )12(-=易求的递推公式：1232,)32()12(11+-=∴-=+--n n a a a n a n n n n n 5112521221=--=∴--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=∴-+=⋅--+⋅---=n n a n n n n n n n n a a n n点评：一般地，对于型如1+n a =f(n)·n a 类的通项公式，当)()2()1(n f f f ⋅⋅ 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、S n 法利用1--=n n nS S a (n ≥2)例9：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）13-+=n n S n。

（2）12-=n s n解： （1）11111-+==S a n a =1--n n S S =[]1)1()1()1(33--+---+n n n n =3232+-n n此时，112S a ==。

∴n a =3232+-n n 为所求数列的通项公式。

（2）011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

六、待定系数法：例10：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解：设1)1(-+-+=n n bq d n a c132211121237242-+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=+∴n n n c a b d q bq d a bq d a bq d a b a 例11. 已知数列{}n c 中，b b c +=11，bbc b c n n ++⋅=-11，其中b 是与n 无关的常数，且1±≠b 。

求出用n 和b 表示的a n 的关系式。

解析：递推公式一定可表示为)(1λλ-=--n n c b c 的形式。

由待定系数法知：bb b ++=1λλ )1(1,1,12122b bc b b b c b b b n n --=--∴-=∴≠-λ故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21b b c n 是首项为112221-=--b b b b c ，公比为b的等比数列，故111121211222--=∴-=-=--++-b b b c b b b b b b b c n n n n n点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n+=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq s n n 。

七、辅助数列法例12：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

解：∵121+=+n n a a ∴)1(211+=++n n a a 令1+=n n a b 则辅助数列}{n b 是公比为2的等比数列∴11-=n nq b b 即n n n q a a 2)1(111=+=+- ∴12-=n n a例13：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a 。

解析：在n n n a a a 313212+=++两边减去1+n a ，得)(31112n n n n a a a a --=-+++ ∴ {}n n a a -+1是以112=-a a 为首项，以31-为公比的等比数列，∴11)31(-+-=-n n n a a ，由累加法得n a =112211)()()(a a a a a a a n n n n +-+⋅⋅⋅+-+---- =+--2)31(n +--3)31(n …11)31(++-=311)31(11+---n =1])31(1[431+---n = 1)31(4347---n 例14： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。

解：∵11+=+n n n a a a ∴11111+=+=+n n n n a a a a ， 设nn a b 1=，则11+=+n n b b故｛n b ｝是以1111==a b 为首项，1为公差的等差数列 ∴n n b n=-+=)1(1 ∴nb a n n 11==点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。