指数及指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念
结论：当n 是奇数时，a a n n =,当n 是偶数时，⎩
⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
)1,,,0(*
>∈>=n N n m a a a n m n
m
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r
a ·s r s
a a
+=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；
（3）()r
r
s
ab a a =),0,0(Q r b a ∈>>． （二）指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x
≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． （三）指数函数的图象和性质
注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
一、指数
1、化简［32
)5(-］4
3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5
D ．－5
2、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）
A 、1
1
321122--⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
B 、1
13212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1
321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
3、211
5
113
3
66
2
2
1()(3)()=3
a b a b a b -÷__________.
二、指数函数
3、一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b ，则n 年后这批设备的价值为（ ）
A 、(1%)na b -
B 、(1%)a nb -
C 、[1(%)]n
a b - D 、(1%)n
a b - 4、若21
(5
)2x f x -=-，则(125)f = .
5、若21025x
=，则10x -等于（ ）
A 、
15 B 、15- C 、150
D 、1625 6、已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f
三、指数函数的图像问题
7、若函数(1)(0,1)x y a b a a =-+>≠的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）
A ．01>>b a 且
B ．010<<<b a 且
C ．010><<b a 且
D ．11>>b a 且
8、函数(
)
2
()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A 、1>a
B 、2<a
C 、a <
、1a <<9、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （ ）
四、定义域与值域问题
10、求下列函数的定义域和值域 （1）121x
y =
- （2）222)31(-=x y （3）x
y 121⎪⎭
⎫
⎝⎛= （4）2
221++-⎪
⎭⎫
⎝⎛=x x y （5）1
121+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x x y （6）x
x
y 212+=
11、下列函数中，值域为()+∞,0的函数是（ ）
x
y A 23.= 12.-=x y B 12.+=x y C x
y D -⎪
⎭
⎫
⎝⎛=221.
12、设集合2
{|3,},{|1,}x
S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ）
A 、∅
B 、T
C 、S
D 、有限集 13、(2007重庆)若函数()1222
-=
--a
ax x
x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .
14、若函数0322
≤--x x ，求函数x x y 4222
⋅-=+的最大值和最小值.
15、如果函数)10(122≠>-+=a a a a
y x x
且在[]1,1-上的最大值为14，求实数a 的值.
16、若函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围.
五、比较大小问题
17、设.)3
2(,)32(2
.15.1-==b a 那么实数a 、b 与1的大小关系正确的是 ( )
A. 1<<a b
B. 1<<b a
C. a b <<1
D. b a <<1
18、设,10<<<b a 则下列不等式正确的是（ ）
b a b a A <. b a b b B <. a a b a C <. a b a b D <.
六、定点问题
19、函数)10(33≠>+=-a a a y x 且的图象恒过定点___________.
七、单调性问题
20、函数x
x y 2221-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=的单调增区间为_____________
21、函数)10()(≠>=a a a x f x 且在区间]2,1[上的最大值比最小值大2
a
，则=a ________ 22、函数1
)1(22
2)(+--=x a x
x f 在区间),5[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ( )
A. [6,+)∞
B. ),6(+∞
C. ]6,(-∞
D. )6,(-∞
23、函数),0,0()(1
1b a b a b
a b a x f x
x x x ≠>>++=++的单调性为（ ）
A ．增函数
B ．减函数
C ．常数函数
D ．与a, b 取值有关
24、设01a <<，解关于x 的不等式22
232
223
x x x
x a a -++->.
25、 已知函数()f x x
x
-+=2
2.
(Ⅰ) 用函数单调性定义及指数函数性质证明: ()f x 是区间 ),0(+∞上的增函数； (Ⅱ) 若325)(+⋅=-x x f ，求x 的值.
26、已知函数225
13x x y ++⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，求其单调区间及值域.
八、函数的奇偶性问题
27、如果函数)(x f 在区间[]
a
a 24,2--上是偶函数，则a =_________
28、函数21
21
x x y -=+是（ ）
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、既奇又偶函数
D 、非奇非偶函数
29、若函数1
41
)(++=x a x f 是奇函数，则=a _________ 30、2()1()(0)21x
F x f x x ⎛⎫
=+
⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x ( ) A 、是奇函数 B 、可能是奇函数，也可能是偶函数 C 、是偶函数 D 、不是奇函数，也不是偶函数
31、已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域； (3)证明()f x 是R 上的增函数.。