指数与指数函数专题训练一、 单选题1．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A ．()nm m n a a += B ．()nnmm a a = C ．()nmm n a a -= D ．()nmmn a a =2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|xxf x =+--，则()f x 的值域是（ ） A ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]03,D ．[]1,23．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( )A ．1a >B ．0.2a <C ．(1)0a a -<D ．(1)0a a ->4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>5．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ） A ．（1，1）B ．（1，3）C ．（2，0）D ．（4，0）6．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b b b <B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <8．（2020·上海高一课时练习）若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-9．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A ．x ＜z ＜yB ．y ＜x ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x10．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3二、多选题11．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -=C ．88a a =D ．()55ππ-=-12．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足ty a =，则下列说法正确的是（ ）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t +=13．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数1()12=-+x xe f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-E.()g x 的值域是{1,0}-14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 三、单空题15．（2020·上海高三专题练习）函数2233x y -=的单调递减区间是_________.16．（2020·上海高二课时练习）设21*718(,)n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+_________. 17．（2020·上海高三专题练习）若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________． 四、双空题18．（2019·北京市第二十五中学高一期中）在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.19．（2020·上海高一课时练习）函数2x y =的图象与函数2x y -=的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.20．（2020·上海高一课时练习）已知函数22()2,[0,3]x xf x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最小值为_________.21．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）设函数f （x ）2212x a x ax x ⎧+=⎨+≤⎩，＞，，若a ＝1，则f （f （2））＝_____；若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 五、解答题22．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）若11a a --=，求下列各式的值:（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a - 23．（2020·上海高一课时练习）已知函数()2()2x xa f x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.24．（2020·上海高三专题练习）已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值． 25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值； （2）求函数2()(0)x f x ax -=≥的值域；26．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()xx g x aa mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .27．（2020·山东省莱州一中高二月考）如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()xf x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小； （3）已知(4)(32)bb m m --+<-，求m 的取值范围．二、 单选题1．（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A ．()nm m n a a += B ．()nnmm a a = C ．()nmm n a a -= D ．()nmmn a a =【答案】D 【解析】根据指数的运算性质()nm mn a a =排除ABC.故选:D2．（2020·湖北省高三其他（文））已知()12|12|xxf x =+--，则()f x 的值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]0,2C ．(]03,D ．[]1,2【答案】B 【解析】当120x -≥，即0x ≤时，()()112122xxx f x +=+--=，则()02f x <≤，当120x -<，即0x >时，()()12122xxf x =++-=，∴()f x 的值域是(]0,2， 故选：B ．3．（2020·上海高一课时练习）若指数函数x y a =是减函数，则下列不等式中一定成立的是( )A ．1a >B ．0.2a <C ．(1)0a a -<D ．(1)0a a ->【答案】C 【解析】由于指数函数xy a =是减函数，所以01a <<，所以10a -<，()10a a -<，所以ABD 选项错误，C 选项正确. 故选：C4．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数x y a =和x y b =的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1a b >>D ．1b a >>【答案】C 【解析】很显然a ，b 均大于1；x y a =与1x =的交点在x y b =与1x =的交点上方，故b a <，综上所述:1a b >>. 故选:C.5．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一月考）函数y=a x ﹣1+2（a ＞0且a≠1）图象一定过点（ ） A ．（1，1） B ．（1，3） C ．（2，0） D ．（4，0）【答案】B 【解析】由x ﹣1=0，解得x=1，此时y=1+2=3， 即函数的图象过定点（1，3）， 故选B6．（2020·福建省高三其他（文））已知 1.22a =， 1.10.5b -=，0.44c =，则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A【解析】1.1 1.1 1.110.5()22b --===，0.420.40.84(2)2c ===.因为2xy =在R 上为增函数，所以0.8 1.1 1.2222<<. 即c b a <<. 故选：A7．（2020·萍乡市上栗中学高三二模（文））已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b b b < B ．b b a b <C ．a b a a <D ．a a b a <【答案】B 【解析】 取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =，a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.8．（2020·上海高一课时练习）若函数2xy m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-【答案】D 【解析】指数函数2x y =过点0,1,则函数2xy m =+过点()0,1m +,若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D9．（2020·湖北省高三其他（文））若0＜a ＜b ＜1，x ＝a b ，y ＝b a ，z ＝b b ，则x 、y 、z 的大小关系为（ A ．x ＜z ＜y B ．y ＜x ＜z C ．y ＜z ＜x D ．z ＜y ＜x【答案】A 【解析】 因为01a b <<<，故()xf x b =单调递减；故a b y b z b =>=，幂函数()bg x x =单调递增；故b b x a z b =<=，则x 、y 、z 的大小关系为：x z y <<； 故选：A10．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B 【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 二、多选题11．（2019·广东省佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（ ） A ．347a a a ⋅= B ．()326a a -=Ca =Dπ=-【答案】AD 【解析】34347a a a a +==，故A 正确；当1a =时，显然不成立，故B 不正确；88a a =，故C 不正确；()55ππ-=-，D 正确，故选AD.12．（2020·山东省高一期末）如图，某湖泊的蓝藻的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系满足ty a =，则下列说法正确的是（ ）A ．蓝藻面积每个月的增长率为100 %B ．蓝藻每个月增加的面积都相等C ．第6个月时，蓝藻面积就会超过260mD ．若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则一定有123t t t += 【答案】ACD 【解析】由图可知，函数ty a =图象经过()1,2，即12a =，则2a =，∴2ty =；∴1222t t t +-=不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100 %，A 对、B 错；当6t =时，626460y ==>，C 对；若蓝藻面积蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123, , t t t ，则122t =，22 3 t =，326t =，则122223t t ⋅=⨯，即1226t t +=，则123t t t +=，D 对；故选：ACD ．13．（2020·全国高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数1()12=-+x xe f x e ，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（ ） A ．()g x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．()g x 的值域是{1,0,1}-E.()g x 的值域是{1,0}- 【答案】BCE 【解析】根据题意知，e 111()1e 221ex x xf x =-=-++. ∵e1(1)[(1)]01e 2g f ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦， 11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦，(1)(1),(1)(1)g g g g ∴≠-≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；e 111()()1e 21e 2x x xf x f x ---=-=-=-++， ∴()f x 是奇函数，B 正确； 由复合函数的单调性知11()21x f x e =-+在R 上是增函数，C 正确； e 0x>，1e 1x ∴+>，1101,10,11x xe e<<-<-<++ 11()22f x ∴-<<，()[()]{1,0}g x f x ∴==-，D 错误，E 正确.故选:BCE .14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()12xf x -=⊕，则下列命题正确的有（ ） A ．()f x 的值域为 [)1,+∞ B ．()f x 的值域为 (]0,1C ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是(),0-∞D ．不等式()()+12f x f x <成立的范围是()0,+∞ 【答案】AC 【解析】由函数()12xf x -=⊕，有1(12)()2(12)x xxf x ---⎧≥=⎨<⎩, 即2(0)()1(0)xx f x x -⎧<=⎨≥⎩，作出函数()f x 的图像如下，根据函数图像有()f x 的值域为[1,)+∞， 若不等式()()+12f x f x <成立，由函数图像有 当210x x <+≤即1x ≤-时成立， 当2010x x <⎧⎨+>⎩即10x -<<时也成立.所以不等式()()+12f x f x <成立时，0x <. 故选：AC. 三、单空题15．（2020·上海高三专题练习）函数2233x y -=的单调递减区间是_________. 【答案】()0,∞+ 【解析】令223u x =-，则3u y =，u 在(),0x ∈-∞上递增，在()0,x ∈+∞上递减，而3uy =是增函数，∴原函数的递减区间为()0,∞+，故答案为()0,∞+.【方法点睛】判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）.16．（2020·上海高二课时练习）设21*718(,)n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+_________. 【答案】21487n -⨯ 【解析】21*718(,)n m m n N -+=∈，21781n m -∴=- 21212217747=79n n n +--⨯=⨯，217149811=49(88)4n m m +∴+=⨯-+⨯- =8+48848=8+48(81)m m m m ⨯-⨯- 21=8+487n m -⨯故答案为：21487n -⨯17．（2020·上海高三专题练习）若曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________． 【答案】[－1,1] 【解析】画出曲线|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示由图象可得|y|＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]． 四、双空题18．（2019·北京市第二十五中学高一期中）在①112-⎛⎫- ⎪⎝⎭、②122-、③1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭④12-中，最大的数是________；最小的数值________（填序号）.【答案】③. ①. 【解析】①1122-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②122222-==；③11221222-⎛⎫== ⎪⎝⎭；④1122-=. 所以最大的是③，最小的是①. 故答案为：(1). ③. (2). ①.19．（2020·上海高一课时练习）函数2x y =的图象与函数2xy -=的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.【答案】y 轴 ()0,1 【解析】函数2x y =的图象与函数2xy -=的图象如下：由指数函数的性质可知，函数2xy =的图象与函数2xy -=的图象关于y 轴对称，它们的交点坐标是()0,1.故答案为：y 轴；()0,1.20．（2020·上海高一课时练习）已知函数22()2,[0,3]x xf x x -+=∈，则该函数的最大值为__________，最小值为_________. 【答案】2 18【解析】函数()()22211g x x x x =-+=--+在[0,1)上单调递增，在(1,3]上单调递减，且()()0=033g g =-，，()11g =()[3,1]g x ∴∈-，函数2xy =单调递增，()1228g x ∴≤≤，即函数()f x 的最大值为2，最小值为18. 故答案为：2；1821．（2020·浙江省诸暨中学高二期中）设函数f （x ）2212x a x ax x ⎧+=⎨+≤⎩，＞，，若a ＝1，则f （f （2））＝_____；若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】9 [3，+∞） 【解析】若a ＝1，则f (f (2))＝f (3）＝23+1＝9， 当x ＞2时，f （x ）＝2x +a ＞4+a ，当x ≤2时，由函数的值域为R 可知，a ＞0，此时f (x )≤2a +1， 结合分段函数的性质可知，2a +1≥a +4即a ≥3． 故答案为：9；[3，+∞）． 五、解答题22．（2018·江苏省启东中学高一开学考试）若11a a --=，求下列各式的值: （1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -【答案】（1）3（2）4（3）4【解析】（1）11a a --=，1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，1a a -∴+=（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=即33a a -+=2）得：334a a --=，3a -∴=23．（2020·上海高一课时练习）已知函数()2()2x xa f x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】(0,1))⋃+∞ 【解析】函数()2()2x x af x a a a -=--（其中0a >且1a ≠）在R 上是增函数，当1a >时，x y a =和xy a -=-单调递增，故只需满足202a a >-，故a > 当01a <<时，x y a =和xy a -=-单调递减，故只需满足202a a <-，故01a <<； 综上所述：(0,1)(2,)a ∈+∞.24．（2020·上海高三专题练习）已知[]3,2x ∈-，求11()142x xf x =-+的最小值与最大值． 【答案】最小值34；最大值57 【解析】()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭,∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤. 则当122x-=,即1x =时,()f x 有最小值34；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值 25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)，（1）求a 值； （2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；【答案】（1）12a =（2）0,4]（ 【解析】（1）函数()2x f x a-=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=12a ∴=（2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（26．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x x f x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【答案】（1）7；（2）2；（3【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=， 又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()xxf x a a-=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去），所以函数()f x 的解析式为()22x xf x -=-.（3）由（2）知()22x xf x -=-，可得()2222()2()22222xx x x x x g x aa mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+，令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x xf x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即3m =±，解得3m =， 当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去. 综上可知3m =.27．（2020·山东省莱州一中高二月考）如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式； （2）比较b a 与a b 的大小； （3）已知(4)(32)bb m m --+<-，求m 的取值范围．【答案】（1）x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）b a a b <；（3）12(,)33-.【解析】（1）将11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入()xf x a =，()bg x x =，求得11612a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩；（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <；（3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，根据定义域和单调性，有40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<. 试题解析：（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b a a b <． （3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-．。