D点的连续条件： x = a， 1' 2 ' 1 2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
式中：积分常数 C1 、C2 可通过梁挠曲线的 边界条件 和 变形 连续性条件 来确定。
1、边界条件
A
l A= 0
B
B= 0
A
A= 0
B
B= 0
在简支梁或外伸梁中， 铰支座处的挠度 都应等于零。
A 0 B 0
A
B
l A= 0 A= 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 和转角 都应等于零。
A 0, A 0
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1 x
C2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = 0 ， 1 = 0
x = l ， 2= 0
再将边界条件代入方程可解得:
C2 D2 0
C1
D1
Fb 6l
(l 2
b2)
1 (0 x a)
1 1' Fb
2lEI
[1 (l2 b2) x2] 3
F
A
C
B
a
b
l
F
RA
RB
C
B
A
a
b
l
解: 梁的支反力为
RA
F
b l
RB
F
a l
x
RA
1
A
F
RB
C2 B
x
a
b
l
两段梁的弯矩方程分别为
M1
RA x
F
b l
x
(0 x a)
M2
F
b l
x
F(x
a)
(a x l)
两段梁的挠曲线方程分别为
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
2 (a x l)
2 2' Fb
2lEI
l b
(
x
a)2
x2
1 3
(l
2
b2)
2 Fb
6lEI
l b
(
x
a)3
x3
(l
2
b2)
x
RA
1
A
F
RB
C2 B
a
2、连续性条件 在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。
A
B
A
B
例题 ：图示一抗弯刚度为 EI的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 max 和 最大转角 max。
F
A
x
B
l
y
F
A x
l
x B
EI M (x)
y
解：弯矩方程为
M(x) F(l x)
x y
2、度量梁变形后横截面位移的两个基本量 （1）挠度（ ）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴 方向的线位移，称为该截面的挠度。
x
y
（2）转角（） ：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性
轴的转动）, 称为该截面的转角。
y
x
挠曲线
（3）挠曲线 ：梁变形后的轴线 称为挠曲线 。
曲线向上凹 时 ： w'' < 0 , M > 0
M 与 w'' 的正负号正好相反，
所以 或
d 2w dx 2
M (x) EI z
M (x) w' '
EI z
w" M ( x) EI z
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程式
近似原因 : (1) 略去了剪力的影响 ; (2) 略去了(w /)2 项。
x 0, ' 0
l
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx 2 2
Fx3 6
C1
x
C2
A x
l
F
x B
边界条件为 :
x 0, 0 x 0, ' 0
y
将边界条件代入两式中： C1 = 0， C2 = 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
' Flx Fx2
EI 2EI Flx2 Fx3
2EI 6EI
' Flx Fx2
EI 2EI
Flx 2 Fx3
2EI 6EI
A x
l
y
F
x B
max 及 max都发生在自由端截面处
F
A x
l
x B
y
max
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl2 2EI
max
|xl
Fl 3 3EI
（） （）
例题 ：图示一抗弯刚度为 EI的简支梁, 在 C点处受一集中力 F 的 作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大的挠度 和最大的转角。
梁的挠曲线近似微分方程
EI" M (x)
（二）、积分法计算梁的位移 上式积分一次得转角方程
EI EI ' M (x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
EI [ M (x)dx]dx C1x C2
EI EI ' M (x)dx C1
EI [ M (x)dx]dx C1x C2
由几何关系知, 一根平缓的曲线 = (x) ，其斜率 1/ (x) 近似地
等于 (x) 对于 x 的二阶导函数，即
1
( x)
d 2
dx2
o
x
M
M
y
M< 0
w" 0
o
M
x
M
y
M>0
w" 0
图 6—2
根据以上两式可得：
d 2w M (x) dx2 EIz
这就是梁的挠曲线的近似微分方程式。
曲线向下凹 时 : w'' > 0 , M < 0
挠曲线方程为 (x)
y
x
挠曲线
3、挠度与转角的关系
(x) (x)
二、梁的挠曲线近似微分方程式 （一）推导公式
纯弯曲时曲率与弯矩的关系为
1 M
EI z
横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数 。略去剪力对梁的位移
的影响, 则
1 M(x)
( x) EI z
1 M(x)
( x) EI z
M
1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(x
a)
转角方程
EI
'
1
F
b l
x2 2
C1
EI
2'
F b x2 l2
F
(
xa)2 2
D1
挠度方程
EI
1
F
b l
x3 6
C1
x
C
2
EI
2
F
b l
x3 6
F
(
x 6
a)3
D1
x
D2
RA
1
A
F
RB
C2 B
a
b
l
边界条件：
x = 0 ， 1 = 0
x = l ， 2= 0
x3 6
F
(x 6
a)3
D1
x
D2
x = a， 1' 2 ' 1 2
先将连续条件代入方程可解得: C1 D1, C2 D2
1 ( 0 x a)
2 (axl )
挠曲线方程
EI
1"
M1
F
b l
x
EI
2"
M
2
F
b l
x
F
(
x
a)
转角方程
EI
'
1
F b l
x2 2
C1
EI
2'
F
b l
x2 2
挠曲线的近似微分方程为
EI'' M (x) Fl Fx
EI Fl Fx
对挠曲线近似微分方程进行积分
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx2 2
Fx3 6
C1 xLeabharlann C2A xy
EI' EI
Flx Fx2 2
C1
EI
Flx 2 2
Fx3 6
C1
x
C2
F
x B
边界条件为 :
x 0, 0